Logistic分布指当n趋向于无穷大时，从指数分布(exponential distribution)中抽取的容量n的随机样本的最大与最小样本值的平均的极限分布。密度函式为：f(x)=exp[-(x-α)/β]/β{1+exp[-(x-α)/β]}2，-∞<x<∞，β>0，分布函式为：1/f(x)=exp[-(x-α)/β]。位置参数α为均值。分布的方差为π2β2/3，它的偏斜度为0，峰度为4.2。α=o，β=1时为标準logistic分布(standard logistic distribution)，它的累积机率分布函式(cumulative distribution function)F(x)与机率分布f(x)之间满足：f(x)=F(x)[1-F(x)]。
基本介绍
- 中文名：Logistic分布
- 外文名：Logistic Distribution
- 别名：罗吉斯蒂克分布
- 所属学科：数学（数理统计）
- 相关概念：Logistic函式等
基本介绍
定义一
如果一个随机变数
，它的分布函式为
图1a logistic分布函式
图1b logistic密度函式由图可见的期望值
，密度函式对对称。分布函式F(x)在处等于005。(0，0，5)为曲线F(x)的对称点，而F(x)=0及F(x)=1为其渐近线。在(0，0，5)点处F(x)的斜率m=0.25。这是logistic函式的最简单的形式。
定义二
Logistic分布函式为
其中
。
因此有时上也从出发，以它作为标準分布，经随机变数线性变换后导出的分布作为一般的Logistic分布。
一元logistic函式
一般地，一元logistic函式可表为
多元logistic函式
更一般的logistic函式为多元的(设为m元)
在研究来自同一总体的两个变数(设为X和Y)间的关係时，採得容量为n的样本
。画出这组数据的散点图，如曲线接近S形，可试用logistic曲线去拟合它。
Logistic回归模型
模型概念
Logistic回归模型是分析二分类型变数时常用的非线性统计模型，是最重要且套用最广泛的非线性模型之一。该模型的因变数为二分类变数(y=0或y=1)，结果变数与自变数间是非线性关係。形式如方程(1)：
模型优缺点
优点：
第一，对变数要求低，可以接受非常态分配的数据；
第二，总体预测準确率较高；
第三，数据来源直接，操作简便；
第四，判断标準明确；
第五，模型稳定，利于推广创新。
缺点：
第一，大多数时候对ST企业预测準确率较低；
第二，P值临界点的选择影响模型预测结果；
第三，违约样本与正常样本的比例影响预测结果。
模型原理
模型构造的原理简单来说是运用对数运算将事件发生与否(即事件发生机率
或1)与自变数x间的非线性关係转化为线性关係。以单一自变数为例，具体转化步骤如下：
第一步，将上述Logistic模型方程(1)转化为如下一个非线性方程(2)。
第二步，方程(2)化简转化为如下方程(3)。
第三步，方程(3)等式两边同时取对数转化为如下方程(4)。
模型(4)得出
与x间的线性关係方程。
此时，
与
虽然不存线上性关係，但是关于P的函式记作logistic(Pi)与存线上性关係。同理，自变数可拓展为m个，则有如下模型方程(5)。
以上得到的模型同样可以用来预测事件的发生。预测时根据已知自变数与模型方程得出
，可以进一步计算事件发生的机率P。P处于0与1之间，越接近1表示发生的机率越大。
模型基本假设
第一，数据必须来自随机样本；
第二，
为m个自变数
的函式；
第三，
或1；
第四，自变数不需要呈常态分配。
模型套用步骤
第一步，选取样本、确定初始指标；
第二步，筛选指标；
运用SPSS软体对所有指标进行Kolmogorov-Smirnov常态分配检验。符合常态分配的指标进行显着性T检验，不符合常态分配的数据进行Mann-Whitney显着性检验，去除不显着指标。进行Pearson检验，去除与其他指标存在高度相关性的指标。进行多重共线性检验，去除与其他指标存在多重共线性的指标；
第三步，进行KMO检验，确定是否进行因子分析；
第四步，进行Logistic回归，得到模型，观察模型拟合程度及预测準确率；
第五步，用检验样本检验模型预测能力；
第六步，利用模型预测事件的发生机率。
模型参数解释
当参数b大于0时，自变数x增大，
减小，增大；
当参数b小于0时，自变数x增大，增大，减小；
当参数b等于0时，自变数x增加对无影响，不变。
因此，模型参量係数可以反映自变数x与事件发生机率P的关係。係数为正表明自变数x的增长促进事件的发生，係数为负表明自变数x的增长抑制事件的发生。
