当我们需要求出(x+1)(x-1)的导数时，我们可以将其展开成为x^2-1，然后进行微分，得出2x。但是当我们遇到(x+1)(x-1)^7这种式子的时候，将其展开极为繁琐，而连锁律也不能直接使用，这时我们就需要乘法律拆分这个式子，然后才能对其求导。
乘法律的基本公式为：d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
基本介绍
- 中文名：微分乘法律
- 表达式：d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
- 套用学科：高等数学
- 适用领域範围：求导
乘法律的推导
假设u和v都是自变数为x的函式：
y=uv
y+δy=(u+δu)(v+δv)
y+δy=uv+uδv+vδu+δuδv （展开）
δy=uδv+vδu+δuδv （y=uv）
δy/δx=u(δv/δx)+v(δu/δx)+(δuδv)/δx （两边除以δx）
limδx→0 δy/δx=u(limδx→0 δv/δx)+v(limδx→0 δu/δx)+limδx→0 δuδv/δx （加上极限）
dy/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)+(limδx→0 δu/δx)×(limδx→0 δv)
dy/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)+(du/dx)×0 （当δx→0时，δv→0）
dy/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)
最后得出乘法律：
d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
我们用乘法律对(x+1)(x-1)^7求导：
d/dx[(x+1)(x-1)^7]
=(x+1)d/dx[(x-1)^7]+[(x-1)^7]d/dx(x+1) （乘法律）
=(x+1)[7(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6] （连锁律）
=(7x+7)[(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6]
=(7x+7+x-1)[(x-1)^6]
=(8x+6)(x-1)^6
乘法律的套用
[(mx+n)^a][(px+q)^b]的导数
在微分(x+1)(x-1)^7时，我们需要进行繁琐的因式分解，我们可以总结出一个公式，以解决类似的问题。
假设a、b、m、n、p和q都是常数：
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]
=[(mx+n)^a]d/dx[(px+q)^b]+[(px+q)^b]d/dx[(mx+n)^a] （乘法律）
=[(mx+n)^a][bp(px+q)^(b-1)]+[(px+q)^b][am(mx+n)^(a-1)] （连锁律）
=bp[(mx+n)^a][(px+q)^(b-1)+am[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^b]
=bp(mx+n)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+am(px+q)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
=(bpmx+bpn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+(ampx+amq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
=(bpmx+ampx+bpn+amq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
得出公式：
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
这个公式可以用来对形如[(mx+n)^a][(px+q)^b]的式子求导。
u√v的导数
有时我们会接触u√v类型的式子，我们试着对它求导：
d/dx(u√v)
=u(d/dx√v)+√v[d/dx(u)] （乘法律）
=u(dv/dx)/(2√v)+(√v)(du/dx)
=(u/2)(dv/dx)/(√v)+v(du/dx)/(√v)
=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
得出公式：
d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
ay的导数
假设y是自变数为x的函式且a为常数，我们来尝试对ay求导。
=d/dx(ay)
=a(dy/dx)+y[d/dx(a)] （乘法律）
=a(dy/dx) （d/dx(a)=0）
从结果得出公式：
d/dx(ay)=a(dy/dx)
乘法律公式
d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
d/dx(ay)=a(dy/dx)
