softmax逻辑回归模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标籤y可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习无监督学习方法的结合。
基本介绍
- 中文名：softmax逻辑回归
- 外文名：Softmax logical regression
简介
在 logistic 回归中，我们的训练集由m个已标记的样本构成：
，其中输入特徵
。（我们对符号的约定如下：特徵向量x的维度为n+1，其中
对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记
。假设函式(hypothesis function) 如下：
我们将训练模型参数
，使其能够最小化代价函式 ：
对于给定的测试输入
，我们想用假设函式针对每一个类别j估算出机率值
。也就是说，我们想估计
的每一种分类结果出现的机率。因此，我们的假设函式将要输出一个
维的向量（向量元素的和为1）来表示这
个估计的机率值。 具体地说，我们的假设函式
形式如下：
其中
是模型的参数。请注意
这一项对机率分布进行归一化，使得所有机率之和为 1 。
为了方便起见，我们同样使用符号
来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将
用一个
的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将
按行罗列起来得到的，如下所示：
代价函式
我们来介绍 softmax 回归算法的代价函式。在下面的公式中，1是示性函式，其取值规则为：
1{值为真的表达式}=1
1{值为假的表达式} =0。举例来说，表达式
的值为1 ，
的值为 0。我们的代价函式为：
值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函式的推广。logistic回归代价函式可以改为：
可以看到，Softmax代价函式与logistic 代价函式在形式上非常类似，只是在Softmax损失函式中对类标记的
个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将
分类为类别
的机率为：
对于
的最小化问题，当前还没有闭式解法。因此，我们使用叠代的最佳化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：
让我们来回顾一下符号 "
" 的含义。
本身是一个向量，它的第
个元素
是
对
的第
个分量的偏导数。
有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化
。 例如，在梯度下降法的标準实现中，每一次叠代需要进行如下更新:
(
）。
当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函式的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
Softmax回归模型参数化的特点
Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量
中减去了向量
，这时，每一个
都变成了
(
)。此时假设函式变成了以下的式子：
换句话说，从
中减去
完全不影响假设函式的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函式，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函式
。
进一步而言，如果参数
是代价函式
的极小值点，那幺
同样也是它的极小值点，其中
可以为任意向量。因此使
最小化的解不是独立的。（有趣的是，由于
仍然是一个凸函式，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的不可逆的，这会直接导致採用牛顿法最佳化就遇到数值计算的问题）
注意，当
时，我们总是可以将
替换为
（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函式。因此我们可以去掉参数向量
（或者其他
中的任意一个）而不影响假设函式的表达能力。实际上，与其最佳化全部的
个参数
（其中
），我们可以令
，只最佳化剩余的 
个参数，这样算法依然能够正常工作。
在实际套用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数
，而不任意地将某一参数设定为 0。但此时我们需要对代价函式做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
权重衰减
我们通过添加一个权重衰减项
来修改代价函式，这个衰减项会惩罚过大的参数值，我们的代价函式变为：
有了这个权重衰减项以后 (
)，代价函式就变成了严格的凸函式，这样就可以保证得到独立的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为
是凸函式，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
为了使用最佳化算法，我们需要求得这个新函式
的导数，如下：
通过最小化
，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。
Softmax回归与Logistic 回归的关係
当类别数
时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当
时，softmax 回归的假设函式为：
利用softmax回归参数冗余的特点，我们令
，并且从两个参数向量中都减去向量
，得到:
因此，用
来表示
，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的机率为
，另一个类别机率的为
，这与 logistic回归是一致的。
Softmax 回归 vs. k 个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的套用，需要对k种类型的音乐进行识别，那幺是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？
这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那幺你可以假设每个训练样本只会被打上一个标籤（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数k= 4的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那幺你可以添加一个“其他类”，并将类别数k设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那幺这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
当前我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 当前假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
中英文对照
- Softmax回归 Softmax Regression
- 有监督学习 supervised learning
- 无监督学习 unsupervised learning
- 深度学习 deep learning
- logistic回归 logistic regression
- 截距项 intercept term
- 二元分类 binary classification
- 类型标记 class labels
- 估值函式/估计值 hypothesis
- 代价函式 cost function
- 多元分类 multi-class classification
- 权重衰减 weight decay
