积分第一中值定理是积分中值定理的推广之一，此外还有积分第二中值定理。积分中值定理揭示了一种将积分化为函式值， 或者是将複杂函式的积分化为简单函式的积分的方法。是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面套用广泛。
基本介绍
- 中文名：积分第一中值定理
- 外文名：First mean value theorem for definite integrals
- 别称：First Integration Mid-value Theorem
- 套用学科：数学
- 适用领域範围：微积分
定理定义
如果函式
在闭区间
上连续，
在 上不变号，并且 在闭区间 上是可积的，则在 上至少存在一个点
，使下式成立：
定理证明
由于 在 上不变号，不妨设
。并且由 在 上的连续性可知， 在 上存在最大值
和最小值
，使得
，将不等式两边同时乘以 ，得到：
,对上式在上 取积分得
若
，上式等号成立，
，定理显然成立。
若
，不等式两边同除以
，有
由介值定理，存在
，使得
，即
。定理得证。
套用实例
求极限
。
解：取为
，
，
，则
，
，并有
由于
有界，因此
