积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。积分中值定理揭示了一种将积分化为函式值， 或者是将複杂函式的积分化为简单函式的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面套用广泛。但是其闭区间的鬆弛，导致在其闭区间端点处点的讨论存在限制，这里将讨论加强条件的积分中值定理，将其区间加强为开区间。
简介
基本版本的积分中值定理如下：
若函式
在闭区间
连续，则在积分区间上至少存在一个点
，使下式成立：
现在加强条件的积分中值定理如下：
若函式在闭区间严格单调（把被积函式条件加强了，所以叫加强条件下的积分中值定理），则在积分区间
上至少存在一个点，使得下式成立：
定理证明
不妨假设是严格递减函式，如上图所示。
显然有
；
即
...................................................(1)
根据基本版本的积分中值定理我们知道
至少存在一点
，使得..................................(2)
将(2)式代入(1)式可以得到：
由于b>a，上式除以(b-a)可以得到：
再根据函式是严格递减，可以知道：
因此加强版积分中值定理成立。
