若在一个空间区域V内，电位Φ(r)处处满足拉普拉斯方程，即▽²Φ(r)=0，则V内任一点的电位值都等于V内以该点为球心的球面上的电位值的平均值。这就是说，对于如图所示的空间区域V，若在V内有▽²Φ(r)=0，S是以P点为球心，半径为R的球面，则P点的电位值

这里，球面S的半径R可以是任意数值，只要保证S在V内即可。

为了证明平均值定理，需要使用数学上的格林定理(亦称格林恆等式或格林公式)。下面来叙述格林定理的内容。

如果标量函式f（r）和Ψ(r)在一个体积V及V的表面S上是良态的，则下列等式成立

两式分别称为格林第一和第二定理(恆等式、公式)。

格林定理的证明是很简单的，只要令A=ψ▽f，并使用高斯定理式等，即可得。

将图中的球面S放大，为了证明的方便，将坐标原点定在P点。由于P点的任意性，证明不失一般性。这样，S即是rs=R的球面，S所包同的全部体积为Vs。使用格林第二定理式将式中的标量函式f(r)用标量位Φ(r)代人，即取f=Φ，由于在所讨论的区域内，Φ满足拉普拉斯方程，▽²Φ(r)=0，因此可得

选取

但是 在P点不收敛，为了符合格林定理的条件，从Vs中挖出一个小块Vξ，它是以P点为球心，ξ为半径的球面Sξ所包同的小球体。这样代人3式，改变积分域，则可得

而在区域（Vs-Vξ）中 ▽² =0

这样就有

注意到式4和式5中，Sξ法线方向是（-irs）方向，若将S和Sξ上所做的积分分开计算，则Sξ的法线方向应改为(irs)方向。因此由式5可得

注意到在Sξ上有rs=ξ，所以

这里使用了高斯定理，并且考虑到Φ满足拉普拉斯方程。同理可得

这样，式6还余下两项，先研究一下该式右边的一项。由于

而在S上，rs=R，dα=irsdα，因此

再研究一下式6左边剩下的一项。注意到在Sξ上，rs=ξ，考虑到式9并使用积分中值定理，则可得

式中，P’为Sξ上的某一点。

最后，再令ξ→0，取极限。由于

这样，综合上面各式的结果就可得

这就是平均值定理式(1)。

另外，还可以使用δ函式来证明平均值定理。

平均值定理在理论研究上是很有用的。另外，它还可以用在近似计算上，从而可以使州计算机对那些不能求得解析解的系统求得其数值解。在做近似计算时，我们是用若干离散点上的电位值之和来代替式(14)中的积分值，而以离散点的个数来代替球面面积的。这是因为在图（一）中，若我们在S上取n个点，每个点的电位分别为Φsr,可得

如果已知的系统是与某一维，例如与z坐标无关，则问题化为二维问题。这时平均值定理就化为

式中，C是以P点为圆心的圆周，圆周半径为R，如图(三)所示。

若在C上取n个点，各点电位为ΦCi,则近似计算公式即为

例如对于图(四)所示的一个无限长接地金属槽，若槽口电位为V0，即可使用式(17)求得槽内的电位数值分布。

首先，如图所示将槽的横截面分成很多小正方形的格线，再对所有的交点，如图上P点、1点、2点、3点、4点等等都赋予一个假定的电位值，作为问题的零阶数值解。然后将零阶解代人式(17)中，求出各点的新的电位值，作为一阶数值解。例如图中

再经过同样运算，将一阶数值解代人式(17)求得二阶数值解。这样不断进行下去，直到所得的解满足我们允许的误差时，即可停止运算，从而得到满意的数值解。这种近似求解的方法就是数值解法中常用的叠代法。而用数值法求解静电场的理论基础就是平均值定理。