如果函式z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
可以表示为
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函式z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函式z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即
dz=AΔx +BΔy
该表达式称为函式z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。
基本介绍
- 中文名：全微分
- 外文名：total differential
- 函式：z=f(x, y)
- 学科：数学
- 公式：dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy
- 相关名词：导数
全增量
为了引进全微分的定义，先来介绍全增量。
设二元函式z = f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，当变数x、y点(x,y)处分别有增量Δx，Δy时函式取得的增量。
称为 f (x, y)在点(x,y)的全增量。
全微分
如果函式z = f (x, y)在点(x,y)的全增量
可表示为
其中A 、B仅与x、y 有关，而不依赖于Δx 、Δy，
，则称函式z = f (x, y)在点(x,y)处可微分，
称为函式z = f (x, y)在点(x,y)处的全微分。记作dz，即
。
函式若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函式是D内的可微函式，全微分的定义可推广到三元及三元以上函式。
定理
定理1
如果函式z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。
定理2
若函式z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函式f在点p0处可微。
定理3
若函式z = f (x, y)在点(x, y)可微分，则该函式在点(x,y)的偏导数
必存在，且函式z = f (x, y)在点(x,y)的全微分为：
判别可微方法
(1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微；
(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微；
(3)检查
是否为
的高阶无穷小，若是则可微，否则不可微。
极限、连续、可导、可微的关係
这几个概念之间的关係可以用下图表示：
