设函式f(x)在区间[a,b]并且设x为[a,b]上的一点，考察下面函式：

注：1.函式变数是x，t为积分变数，两者应注意区别。

2.积分变上限函式和积分变下限函式统称积分变限函式。上式为积分变上限函式的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函式的表达式，所以我们只讨论积分变上限函式即可。

积分变限函式表示曲边梯形的面积

3.从几何上看，这个积分上限函式Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积．（如右图）

积分变限函式与以前所接触到的所有函式形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函式的自变数出现在积分上限或积分下限。

积分变限函式是一类重要的函式，它最着名的套用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函式是产生新函式的重要工具，尤其是它能表示非初等函式，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函式除了能拓展我们对函式概念的理解外，在许多场合都有重要的套用。

连续性

【定理一】若函式f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函式在[a,b]上连续。

导数定理

【定理二】如果函式f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函式在[a,b]上具有导数，并且导数为：

证明过程如下：

定理2

定理二证明过程

导数推广

如果函式f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

注：（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变数x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函式f(x)中只含积分变数t，不含参变数x。

原函式存在定理

若函式f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函式就是f(x)在[a,b]上的一个原函式。

对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的重要目标．积分变限函式除了能拓展我们对函式概念的理解外，它可将积分学问题转化为微分学的问题，在许多场合都有重要的套用．

利用变限积分求原函式

变限积分是为引入原函式而提出的，求原函式应是其最基本的套用．

化积分问题为微分问题

积分变限函式可将积分学问题转化为微分学的问题，这是很重要的一条套用

用变限函式求定积分

很多函式的原函式是没有办法用初等函式表示，或者是不容易求出的，这时套用改写变限函式会使问题得以解决。

变数替换是重要方法

变数替换是数学中重要的技巧之一，在积分中，变数替换具有特殊的意义，变限积分中的许多问题离开了变数替换就无从下手了，请见例题：