勒贝格积分(英语：Lebesgue integral)是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函式的积分可以看作是函式图像与x轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更广的函式（可测函式），并且也扩展了可以进行积分运算的集合（可测空间）。最早的积分运算对于非负值的函式来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积（也就是黎曼积分），但这过程需要函式足够规则。但是随着对更加不规则的函式的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析的极限过程中导致的函式，或者出于机率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。
基本介绍
- 中文名：勒贝格积分
- 外文名：Lebesgue integral)
- 别称：勒贝格不定积分
简介
勒贝格积分(英语：Lebesgue integral)是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函式的积分可以看作是函式图像与x轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更广的函式（可测函式），并且也扩展了可以进行积分运算的集合（可测空间）。最早的积分运算对于非负值的函式来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积（也就是黎曼积分），但这过程需要函式足够规则。但是随着对更加不规则的函式的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析的极限过程中导致的函式，或者出于机率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。
在实分析和在其它许多数学领域中勒贝格积分拥有一席重要的地位。勒贝格积分是以昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。
今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是对于一个在一般测度空间（的子集合）上的函式积分，在这情况下其测度不必然是勒贝格测度。狭义则是指对于勒贝格测度在实数线或者更高维数的欧几里得空间的一个子集合上函式的积分。
引入
在闭区间a和b之间对函式f的积分可以被看作是求f的函式图像下的面积。对于多项式这样比较常见的函式来说这个定义简而易懂。但是对于更加稀奇古怪的函式来说它是什幺意思呢？广义地来说，对于什幺样的函式“函式图像下的面积”这个概念有意义？这个问题的答案具有很大的理论性和实际性意义。
19世纪里在数学中有把整个数学理论放到一个更加坚固的基础上的趋势。在这个过程中数学家也试图给积分计算提供一个稳固的定义。波恩哈德·黎曼提出的黎曼积分成功地为积分运算提供了一个这样的基础。黎曼积分的出发点是构造一系列容易计算的面积，这些面积最后收敛于给定的函式的积分。这个定义很成功，为许多其它问题提供了有用的答案。
但是在求函式序列的极限的时候黎曼积分的效果不良，这使得这些极限过程难以分析。而这个分析比如在研究傅立叶级数、傅立叶变换和其它问题时却是极其重要的。勒贝格积分能够更好地描述在什幺情况下积分有极限。勒贝格积分所构造出的容易计算的面积与黎曼积分所构造的不同，这是勒贝格积分更加成功的主要原因。勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函式的积分。比如输入值为无理数时函式值为0，输入值为有理数时函式值为1的狄利克雷函式没有黎曼积分，但是有勒贝格积分。
推导
以下的介绍是遵循最常见的勒贝格积分的介绍进行的。在这个介绍中积分理论分两部分：
- 可测集和在这些集合上可以进行的测量的理论
- 可测函式和对这些函式积分的理论
测度理论
最初测度理论是用来对欧几里得空间中直线的长度，以及更广义地，欧几里得空间的子集的面积和体积进行仔细分析发展出来的。它尤其可以为E的哪些子集拥有长度这个问题提供一个系统性的回答。后来发展的集合论证明，实际上不可能为E的所有子集都分配一个长度，且保持天然的可加性和平移不变的性质。因此给出一个合适的，可测量的子集类是一个关键的前提。
当然，黎曼积分隐含了长度的概念。事实上计算黎曼积分的元素是[a,b]×[c,d]所组成的长方形，它的面积为(b−a)(d−c)。b−a是这个长方形的宽度，而d−c则是其高度。黎曼只能用平面的长方形来估算曲线下的面积，因为当时还没有其它适当的理论来测量更一般的集合。
在大多数现代的教科书中测度和积分都是公理性的。也就是说测度是一个定义在集合E的某些子集组成的集合x上的函式μ，这些子集必须拥有一定的特徵。在许多不同的情况下这些特徵成立。
套用
值得指出的是许多拓扑向量空间（比如希尔伯特空间或者巴拿赫空间）中的定理以及其中的极限运算，通过使用勒贝格积分获得了巨大的简化。
