移位运算元

定义

定义1 移位运算元（shift operator）：将希尔伯特空间中规範正交基的每一个基向量的位置向前(后)移动一位或若干位的线性运算元。

定义2 设H是复希尔伯特空间，{e_n}_n=0,1,2,...是H的规範正交基，由

所确定的线性运算元S称为重複度为1的单侧移位（或单侧平移）运算元。

注：单侧移位运算元是次正规运算元。

定义3 设H是复希尔伯特空间，{e_n}_{n=0,±1,±2,...}是H的一个规範正交基，由

所确定的线性运算元称为重複度为1的双侧移位（或双侧平移）运算元。

定义4 设α是一个基数，α个重複度为1的单（双）侧移位运算元的正交和称为重複度为α的单（双）侧移位运算元。

注：单、双侧移位运算元统称为移位运算元。

1.S和U分别是重複度为α的单、双侧移位运算元时，S必是等距运算元，U必是酉运算元，且U必是S的正规扩张(当α有限时还是最小正规扩张).σ(S)={λ||λ|≤1}，σ(U)={λ||λ|=1}.

2.若S和U是重複度为1的移位运算元，则其共轭运算元由

和

确定。

在

上定义运算元U：

显然，运算元U是

上的右移运算元。

加权移位运算元（weighted shift operator）是移位运算元的推广，定义如下。

定义5 设H是希尔伯特空间，{e_n}_n=0,1,2,...是H的规範正交基，{w_n}_n=1,2,...是一个数列，则由

确定的线性运算元称为单侧加权移位算子；而{wn}_n=1,2,...称为S的权序列。

设{e_n}_{n=0,±1,±2,...}是H的规範正交基，类似可定义权序列为{w_n}_{n=0,±1,±2,..}的双侧加权移位运算元W：

注：1.单、双侧加权移位运算元统称加权移位运算元。

2.若S和W是重複度为1的加权移位运算元，则S和W的共轭运算元由

和

确定。