线性组合是线性代数的基本概念之一，设α1，α2，…，αe(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量，若V中向量α可以表示为α=k1α1+k2α2+…+keαe(ka∈P，a=1，2，…，e)，则称α是向量组α1，α2，…，αe的一个线性组合，亦称α可由向量组α1，α2，…，αe线性表示或线性表出。
基本介绍
- 中文名：线性表出
- 外文名：linear expression
- 所属学科：数理科学
- 相关概念：线性组合、线性表示等
定义
若干个同维数的行向量(或同维数的列向量)所组成的集合叫做向量组。
对n维向量
和
，如果存在实数
，使得
称向量 是向量 的线性组合，或者说向量 可由 线性表出(示)。
设有两个n维向量组
；如果
中每个向量
都可由
中的向量
线性表出，则称向量组
可由向量组
线性表出。
如果 、 这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。
注：(1)等价向量组具有传逆性、对称性、反身性；
(2)向量组和它的极大线性无关组是等价向量组；
(3)向量组的任意两个极大线性无关组是等价向量组；
(4)等价的向量组有相同的秩。但秩相等的向量组不一定等价。
例题解析
例1 已知
,试问当a，b取何值时 可以由
线性表示，并写出其表达式。
解： 设
，按分量写出，即有
如果b≠4，方程组无解， 不能由 线性表出。
如果b=4，秩
方程组有解， 可由 线性表出。
（1）当
时，
方程组有唯一解：
,即
。
（2）当
时，
方程组有无穷多解：
,即
，t为任意实数。
例2 设有向量组(1)：
；
(2)：
。
试问：当a为何值时，向量组(1)与(2)等价？当a为何值时，向量组(1)与(2)不等价？
分析: 所谓向量组(1)与(2)等价，即向量组(1)与(2)可以互相线性表出，如果方程组
那幺，如果对同一个a，三个方程组
解： 对
作初等行变换，有
那幺，由方程组
知，只要
方程组总有唯一解，即时，
必可由线性表出，而
时，方程组无解，不能由线性表出。
由方程组知，
方程组总有解，即
必可由线性表出。
由方程组
知，只要，方程组就有解，
就可由线性表出，
因此，当时，向量组(2)可由向量组(1)线性表出。
反之，由于行列式
故，三个方程组
恆有解，即，向量组(1)总可由向量组(2)线性表出，因此，时向量组(1)与(2)等价。
而时，不能由线性表出，向量组(1)与(2)不等价。
评注： 若未知向量的坐标而要判断能否线性表出的问题，通常是转换为非齐次线性方程组是否有解的讨论，如果向量的坐标没有给出而问能否线性表出，通常用线性相关及秩的理论分析、推理。