定义1（闭线性运算元）设X，Y均为Banach空间，T是 的线性运算元。对于任意的 ，若由 可得 ，且 ，则称T为闭线性运算元，简称闭运算元。

注：每个连续线性运算元T都可以将定义域 延拓到 的闭包上，因此每个连续线性运算元T都可以看成是有闭定义域的，于是每个连续线性运算元必是闭运算元；但一般的闭线性运算元不一定是连续运算元（下面的例1证实了这一说法）。

例1 考察微分运算元 ，它是定义在 上，取值于 的线性运算元。取函式 ，则

因此T是无界运算元，从而不是连续运算元。下证T是闭运算元。设 则对 另一方面，

所以，

故

定义2（线性运算元的图像）令T是定义在 上到Y的线性运算元，称

为T的图像。

注： 是 的线性子空间。

上面定义的闭线性运算元有一个重要性质，即T的图象 为乘积空间 的一个闭线性子空间。定理描述为：

定理1 T是闭运算元的充分必要条件是 为闭集。

证明：（1）必要性 设 ， . 因为T是闭运算元，则 ， ，于是 ，故 是闭集。

（2）充分性 设 是闭的，若 ，那幺

这表明

定理2（闭图像定理）设X，Y均为Banach空间，T是 的线性运算元。 是X中的闭集。若 是 中闭集，则T是连续的。

证：该定理的证明参见参考文献[1] 的291-292页。

由定理1可知，定理2还可叙述成：在定理2的条件下，若T是闭运算元，则T是连续的。因此定义域是闭子空间的闭运算元是连续运算元。

闭线性运算元原是泛函分析中的概念，后被引入鲁棒控制中讨论系统的不稳定摄动问题。经研究发现，控制系统中一个对象的传递函式P(s)(n×m阶实有理矩阵)，若仅在有限功率谱输入与输出情况下考虑，实际上等于引入了一个从输入空间H^m₂到输出空间Hⁿ₂的闭线性运算元，这一结论为在鲁棒控制中引入隔扑(Gap)概念讨论系统的不稳定摄动打下了基础。