定义1 设 是一个线性空间，称 是一个代数，若：对 中任意两个元素 ，规定乘积 ，满足对 和任意数a，有

（1）结合律 x(yz)=(xy)z；

（2）分配律 x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz；

（3）a(xy)=(ax)y=x(ay).

注：1）设 是一个代数，如果存在 ，使得

就称 是代数 的一个单位元。

2）设 是一个代数，如果 ，且 按 的线性运算及乘法仍是一个代数，则称 是 的一个子代数。

3）设 是一个代数，当 有单位元时，单位元必是唯一的。

4）设 是一个有单位元的代数， 且存在 使得

其中e为 的单位元，则称b为a的逆。

定义2 设 是一个赋范线性空间，同时又是一个代数，而且

则称 是一个赋范代数。

注：在赋范代数中，关于乘积範数的性质保证了乘法运算的连续性。实际上，当 时，

定义3 完备的赋范代数称为Banach代数。

例1 设X是赋范线性空间，则 （由X到X的有界线性运算元全体）是一个有单位元的赋范代数，X上的恆等运算元I 即为其单位元。当X为Banach空间时， 是Banach代数。

例2 设X是Banach空间， ，

即 是与A可交换的有界线性运算元全体，显然， 是B（X）的一个子代数，而且是闭的，因而也是一个Banach代数。

例3 设 是紧拓扑空间， 表示 上连续函式全体，对 ，令

则 是一个Banach代数。

对于有限维线性空间上的线性变换，特徵值是一个十分重要的概念。这个概念拓广到一般的Banach代数中，就是元素的谱。（这里讨论的Banach代数是指复Banach代数。）

定义4 设 是具有单位元 的Banach代数， ， 为複数，如果存在 ，使得

即 可逆，则称 为x的正则点，称x的正则点全体为正则集，记作 ；称非正则点为x的谱点，称x的谱点全体为x的谱集，记作

定义5 设 是具有单位元 的Banach代数， ，记

称 为x的谱半径。

定理1 设 是具有单位元 的Banach代数，则 中可逆元全体是开集，且映射

在可逆元集合上连续。

定理2 设 是具有单位元 的Banach代数， 则 当 时，

且当 时，

定理3 设是具有单位元 的Banach代数， ，则 是开集。对 ，记

则当 时 ，且

定理4 设是具有单位元的Banach代数， ，则 是闭集，且

定理5 设是具有单位元的Banach代数， ，则谱半径

定理6 设是具有单位元的Banach代数， ，则

定理7 设是Banach代数 的闭子代数， 、有相同的单位元， ，则 为开集。

注：定理1-7的证明见参考文献[1]的59-64页。