本书是研究生泛函分析教材.全书共七章，以概述线性泛函分析的基本理论为入口，分别介绍了 Banach 空间上紧运算元和 Fredˉholm 运算元，Banach代数、 Cˇ代数初步和 Hilbert 空间上正规运算元的谱分析，无界运算元，运算元半群，无限维空间上的微分学，拓扑度理论等.本书既注意以现代数学的观点统率各章节内容，突出泛函分析中重要的基本理论，也精选了在套用中受到普遍关注的若干题材，同时还配备了一定数量的难易不等的习题，以利读者加深理解，启发思考.
本书可作为基础数学、套用数学、计算数学、运筹学与控制论、机率论与数理统计等数学类各专业方向的研究生学位课教材，也可供理工类相关专业的研究生以及自然科学工作者、工程技术人员参考使用.

第一章 线性泛函分析基础
§ 1.1 拓扑空间
1.1.1 拓扑空间的概念
1.1.2 网
1.1.3 连续映射
1.1.4 距离空间
1.1.5 距离空间的完备性
§ 1.2 拓扑线性空间
1.2.1 拓扑线性空间的概念
1.2.2 赋準范线性空间
1.2.3 赋范线性空间
1.2.4 内积空间
§ 1.3 紧性
1.3.1 紧集的概念
1.3.2 紧集上的连续映射
1.3.3 Zorn 引理
1.3.4 紧空间的乘积空间
1.3.5 StoneˉWeierstrass 定理
1.3.6 距离空间中的列紧集与完全有界集
1.3.7 有限维赋范线性空间的特徵
1.3.8 BanachˉAlaoglu 定理
1.3.9 Hilbert 空间单位球的弱紧性
§ 1.4 HahnˉBanach 定理及其几何形式
1.4.1 线性空间上线性泛函的延拓
1.4.2 赋范线性空间上连续线性泛函的延拓
1.4.3 自反空间
1.4.4 凸集的分离性
1.4.5 端点、KreinˉMilman 定理
§ 1.5 线性运算元基本定理
1.5.1 开映射定理
1.5.2 逆运算元定理和範数等价定理
1.5.3 闭图像定理
1.5.4 共鸣定理
1.5.5 套用
1.5.6 点列的收敛性
习题
第二章 谱论 Ⅰ:Banach空间上的紧运算元及Fredholm 运算元
§ 2.1 Banach 代数中元素的谱
2.1.1 代数和理想
2.1.2 赋范代数
2.1.3 Banach 代数中元素的谱
§ 2.2 线性运算元的谱
2.2.1 线性运算元谱的概念
2.2.2 线性运算元谱的分类
2.2.3 近似谱点
2.2.4 共轭运算元及共轭运算元的谱
§ 2.3 紧运算元
2.3.1 有限秩运算元
2.3.2 紧运算元的概念
2.3.3 紧运算元的 RieszˉSchauder 理论
2.3.4 Banach 空间的直和分解
2.3.5 紧运算元的 RieszˉSchauder 理论（续）
§ 2.4 Fredholm 运算元
2.4.1 Fredholm 运算元的概念
2.4.2 Fredholm 运算元的性质
习题
第三章 谱论 Ⅱ:Hilbert 空间上的正规运算元
§ 3.1 Banach代数的Gelfand 表示
3.1.1 可乘线性泛函
3.1.2 Gelfand 表示
3.1.3 极大理想空间
§ 3.2 Cˇ代数
3.2.1 Cˇ代数的概念
3.2.2 Cˇ代数中的正规元
3.2.3 GelfandˉNaimark 定理
3.2.4 GNS 构造
§ 3.3 谱测度和谱积分
3.3.1 投影运算元
3.3.2 谱测度与谱积分
3.3.3 谱系
§ 3.4 Hilbert 空间上正规运算元的谱分解
3.4.1 谱定理与函式演算
3.4.2 函式演算的扩充
3.4.3 正规运算元的谱分解定理
3.4.4 正规运算元的谱
3.4.5 von Neumann 代数
习题
第四章 无界运算元
§ 4.1 对称运算元和自伴运算元
4.1.1 稠定运算元的共轭运算元
4.1.2 对称运算元与自伴运算元的概念
4.1.3 运算元的图像
4.1.4 对称运算元为自伴运算元的条件
4.1.5 Cayley 变换
4.1.6 无界函式的谱积分
4.1.7 自伴运算元的谱分解定理
§ 4.2 对称运算元的自伴扩张
4.2.1 闭对称运算元的亏指数
4.2.2 正定双线性泛函
4.2.3 半有界运算元的 Friedrichs 扩张定理
§ 4.3 自伴运算元的扰动
4.3.1 可闭运算元的扰动
4.3.2 自伴运算元的扰动
4.3.3 自伴运算元在扰动下的谱
§ 4.4 无界运算元序列的收敛性
4.4.1 预解意义下的收敛性
4.4.2 图意义下的收敛性
习题
第五章 运算元半群
§ 5.1 向量值函式
5.1.1 向量值函式的连续性
5.1.2 向量值函式的可导性
5.1.3 向量值函式的 Riemann 积分
5.1.4 向量值函式的可测性
5.1.5 强可测与弱可测的关係
5.1.6 运算元值可测函式
§ 5.2 Bochner 积分和 Pettis 积分
5.2.1 Pettis 积分
5.2.2 Bochner 积分
5.2.3 Bochner 积分的性质
§ 5.3 运算元半群的概念
5.3.1 运算元半群概念的由来
5.3.2 C0类运算元半群
5.3.3 运算元半群的一些例子
§ 5.4 C0类运算元半群的表示
5.4.1 C0类运算元半群无穷小母元的概念
5.4.2 无穷小母元的预解式
5.4.3 C0类运算元半群的表示
§ 5.5 无穷小母元的特徵
5.5.1 C0类运算元半群无穷小母元的特徵
5.5.2 标準型C0类运算元半群母元的特徵
5.5.3 C0类压缩半群母元的特徵
5.5.4 Hilbert 空间上C0类压缩半群母元的特徵
§ 5.6 单参数酉运算元群、Stone 定理
5.6.1 单参数运算元群的无穷小母元
5.6.2 Stone 定理
5.6.3 Stone 定理的套用: Bochner 定理
§ 5.7 遍历定理
5.7.1 相空间上的保测变换
5.7.2 Boltzmann 遍历假设
5.7.3 不可压缩稳定流
5.7.4 遍历定理
5.7.5 变换群的遍历性
习题
第六章 无穷维空间的微分学
§ 6.1 映射的微分
6.1.1 G teaux 微分
6.1.2 Fr chet 微分
6.1.3 高阶导数
6.1.4 Taylor 公式
6.1.5 幂级数
§ 6.2 隐函式定理
6.2.1 Cp映射与微分同胚
6.2.2 隐函式的存在性
6.2.3 隐函式的可微性
§ 6.3 泛函极值
6.3.1 线性方程的解与二次泛函的极小问题
6.3.2 泛函极值的必要条件
6.3.3 泛函极值的存在性:下半弱连续条件
6.3.4 最速下降法
6.3.5 泛函极值的存在性: PalaisˉSmale 条件
习题
第七章 拓扑度
§ 7.1 Brouwer 度
7.1.1 C1类映射的拓扑度（非临界点情形）
7.1.2 3个引理
7.1.3 C1类映射的拓扑度（一般情形）
7.1.4 Brouwer 度
7.1.5 Brouwer 度的性质
§ 7.2 LerayˉSchauder 度
7.2.1 一个例子
7.2.2 全连续映射
7.2.3 LerayˉSchauder 度的定义
7.2.4 LerayˉSchauder 度的性质
§ 7.3 不动点定理及其套用
7.3.1 Brouwer 不动点定理
7.3.2 Schauder 不动点定理
7.3.3 非紧性测度
7.3.4 集压缩映射的不动点
7.3.5 Kakutani 不动点定理
7.3.6 套用:代数学基本定理
7.3.7 套用:不变子空间
7.3.8 套用:对策论基本定理
习题
参考文献