按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。

例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为 ，它的展开式为ad-bc。

九个数a₁，a₂，a₃;b₁，b₂，b₃;c₁，c₂，c₃排成的三阶行列式记为 ，它的展开式为a₁b₂c₃+a₂b₃c₁+a₃b₁c₂-a₁b₃c₂-a₂b₁c₃-a₃b₂c₁. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的套用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。

在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。

定义1 n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和，这里 是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当 是偶排列时带有正号，当 是奇排列时带有负号。这一定义可写成

这里 表示对所有n级排列求和， 表示排列 的逆序数。

由定义1立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。

性质1 行列互换，行列式不变。

性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那幺这个行列式等于两个行列式的和。

性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那幺行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）

性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那幺行列式为零。

性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

首先给出代数余子式的定义。

定义2 在行列式

中划去元素a_ij所在的第i行第j列，剩下的(n-1)²个元素按原来的排法构成一个n-1阶的行列式M_ij，称M_ij为元素a_ij的余子式，A_ij=(-1)^i+j M_ij称为元素的代数余子式。

定理 设

A_ij表示元素a_ij的代数余子式，则下列公式成立：

行列式

称为n级的范德蒙德（Vandermonde）行列式。可以证明：对任意的 n（n≥2），n阶范德蒙德行列式等于a₁，a₂，...，a_n这n个数的所有可能的差a_i-a_j（1≤j<i≤n）的乘积。