行列式依列展开(expansion of a determinant by a column)是计算行列式的一种方法，设a1j，a2j，…，anj (1≤j≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一列中的元素，而A1j，A2j，…，Anj分别为它们在D中的代数余子式，则D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj称为行列式D的依列展开。
基本介绍
- 中文名：行列式依列展开
- 外文名：expansion of a determinant by a column
- 所属学科：数学
- 所属问题：高等代数(行列式)
- 基本介绍：计算行列式的一种方法
基本介绍
设a1j，a2j，…，anj(1≤j≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一列中的元素，而A1j，A2j，…，Anj分别为它们在D中的代数余子式，则D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj称为行列式D的依列展开。
例如，在一个三阶行列式D中，划去元素aij(i=1, 2,3; j=1, 2,3)所在的第i行和第j列的所有元素，剩下的元素按照它原有的位置得到的一个二阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij。而将(-1)Mij称为元素aij的代数余子式，记作Aij，即Aij=(-1)Mij。例如
行列式可按行或列展开，于是每个行列式可以表成它的某一行(或某一列)的每个元素与它对应元素的代数余子式乘积的和，即
D= ai1Ai1+ ai2Ai2+ ai3Ai3 (i= 1, 2，3) ， (1)
D= a1jA1j+ a2jA2j+ a3jA3j (j=1，2, 3)， (1')
我们把类似(1)式的展开称为行列式的依行展开式，把(1')式称为行列式的依列展开式。
相关定理
定理1 (行列式按列展开规则) n阶行列式d等于它的任意一列元素与它们对应的代数余子式之积的和，即
定理2如果行列式D的第s列各元素与第t列各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当s≠t时，其和为零。因此有
此定理也可以叙述为：n阶行列式(n>1)的某列的元素与另一列的对应元素的代数余子式乘积的和等于零。
例题解析
【例1】计算：
解：d中第5列零元素较多，应从这一列入手。
说明在行列式计算中，我们经常利用行列式的展开把n阶行列式转化为n-1阶行列式，通过降阶逐步变为低阶行列式后进行计算，但行列式按某一行或列展开时，只有在该行或列的元素有较多的零时，才能起到减少计算量的作用，因此往往先运用“化零”后进行“降阶”，利用行列式性质降低行列式阶数，然后计算行列式之值的方法称为降阶法，例1就是降阶法的一例。