高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选（第2版）

内容简介

本书第1版于2011年问世，颇受读者及竞赛组织者的欢迎，读者可能已经看到，本书第1版中收集的某些题，与之后的某些竞赛题同，说明这些题有代表性，第1版经3次印刷，已告罄，现将本书修改再版.再版主要修改的有：删去每章前的“主要内容”提要，以便不受其影响；删去一些过于简单的例题和习题，收集进了某些竞赛中有意思的题，这些题大都是基础性的，但有技巧.除此之外，各章增添的内容大致有以下几个方面.

1.关于映射的不动点问题以及映射的叠代的题，增添了某些数列极限的题.

2.增删了一些用微分学或积分学处理的不等式问题和零点问题的题.

3.反常积分是竞赛中经常涉及的内容，其中颇多技巧.今将反常积分单独列为一大段，介绍了反常积分的极限形式判敛法，狄利克雷判敛法与阿贝尔判敛法，在一定条件下反常积分敛散性与级数敛散性的等价关係，增添了与此相关的内容、例题与习题.

4.增添了以微分方程为背景的有关极值、凹凸性、定义域的题.增加了二阶线性微分方程的任意常数变动法，用分部积分求恰当线性微分方程的解，判定线性微分方程为恰当微分方程的充要条件以及与此相关的题.

5.在向量代数与空间解析几何一章中，引入了苏联人编写的《数学手册》中关于二次曲面用它的係数十分细緻的具体分类，以飨读者.并且增添了讨论两二次曲面（或平面与二次曲面）相交的某些几何特徵的题，求一般柱面方程及锥面方程的题.

6.类似于定积分的分部积分法，增添了二重积分与三重积分的分部积分法，增添了二重积分与三重积分的曲线（面）坐标变换，巧妙地利用广义极坐标、广义球坐标计算积分，用微元法计算三重积分、曲线积分与曲面积分，以及与它们有关的题.

7.增添了分母为二次式的有理函式展开成麦克劳林级数并判定余项趋于零的题.一般教科书，只介绍其分母可分解为两实因式之积的情形，并且採用间接展开法从而避开了余项的讨论.作者悉心研究得出，无论是分母可分解为两实因式或否，在实数範围内都可用直接法求出此函式的麦克劳林级数并方便地证明其余项在收敛域内趋于零.如果引入复係数，那幺众所周知，也可用间接展开法展开成麦克劳林级数.作者将此结果在此书中献给读者.

修改后，本书共有例题362道，习题430道，与第1版相比，例题与习题增删总量以及全书篇幅的改动超过30%.

本书第2版不但仍可作为竞赛培训教程，并且也可以作为高等数学及工科数学分析教材的教辅书，供有关学生特别是有关老师参考.作者在此还应向本书引用的竞赛题的组织者和命题人致谢，感谢他们的大力支持.

蔡燧林[]2015年10月于浙江大学数学科学学院第1版前言摘录高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选（第2版）第1版前言摘录

高等学校（特别是理工类）师生，为讲授、学习高等数学，常因例题、习题过浅而提高不了兴趣或掌握不了问题的实质.参加竞赛，也只能抱着试试看的心情仓促上马，準备时也因缺少参照物而无法下手.数学专业的学生，也可能因运算在某些方面比不上其他理工类的学生而感到烦恼.本书就是为填补这些空白而编写的.

全书共分8章，每章分若干节，每节分若干大段.由于篇幅不能太长，所以本书中不列出定义、定理、公式.而对于一般教科书上未深入提及的某些概念之间的关係和重要定理的证明，以及一些方法的阐述，在本书中有时用例题的形式，有时通过一些例题的启发用“分析”与“\[注\]”的形式给予介绍.例如，读者在本书中将会看到如下一些内容，曲线凹向几个等价性定义的证明，一般情形下如何求锥面、柱面、旋转面的方程，二元函式的二重极限与逐次极限，连续，偏导数，全微分，方嚮导数等之间的关係及各种情形下的反例，混合偏导数不相等的例子，多元函式各种积分方法的例子，级数收敛性的阿贝尔判别法与狄利克雷判别法，傅立叶级数的封闭性方程等.

高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选（第2版）

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