本书基本上是根据全国工科院校高等数学教学大纲的要求编写的，也是编者多年来在清华大学从事高等数学的教学和辅导工作的结晶。

全书分上、下两册，上册包含函式、极限与连续、导数与微分、导数的套用、不定积分、定积分、空间解析几何及矢量代数共7章内容。每章的各节以“内容提要”开始，概括本书的主要知识内容；然后是“例题分析”，通过分析、讲解、提问、小结等方式对各种题型的例题进行解剖、辅导。每章的末尾，安排“习题与答案”，供读者练习、检查。

本书可作为工科大学生、自学高等数学者学习时的辅导教材，也可供从事工科高等数学教学的教师、非数学专业的研究生及中学数学教师参考。

第1章函式1

1-1预备知识1

1-1-1内容提要1

1区间及其各种表示法1

2绝对值及其性质1

1-1-2例题分析2

1不等式与绝对值不等式之间的互换2

2解不等式3

1-2函式概念、定义域、反函式、函式符号6

1-2-1内容提要6

1函式定义6

2定义域6

3反函式定义6

1-2-2例题分析7

1有关函式概念的一些问题7

2求定义域9

3函式的符号运算11

4求反函式15

1-3偶函式、奇函式、周期函式、函式的增减性18

1-3-1内容提要18

1奇、偶函式的定义18

2周期函式定义18

3函式增减性定义18

1-3-2例题分析19

1判断函式的奇偶性19

2函式周期性及其求法21

3判断函式的增减性23

1-4建立函式关係24

1-4-1内容提要24

1-4-2例题分析25

1由物理知识寻找函式关係25

2由几何条件寻找函式关係25

3由其他条件寻找函式关係28

1-5作函式的图形29

1-5-1内容提要29

1-5-2例题分析31

1图形的叠加31

2图形的平移32

3综合法作图33

4带有绝对值的函式作图法34

5其他作图法35

1-6综合题、杂题37

1-7习题与答案42

1-7-1习题42

1-7-2答案46

第2章极限与连续50

2-1极限概念50

2-1-1内容提要50

1数列un的极限定义50

2当x→+∞时，函式f(x)以A为极限的定义50

3当x→-∞时，函式f(x)以A为极限的定义50

4当x→∞时，函式f(x)以A为极限的定义51

5当x→x0时，函式f(x)以A为极限的定义51

6无穷小量的定义51

7无穷大量的定义51

8有界函式与无界函式的定义52

2-1-2例题分析52

1有关极限概念中的一些问题52

2用极限定义证明极限54

3无穷小、无穷大、有界函式及无界函式62

2-2极限四则运算64

2-2-1内容提要64

2-2-2例题分析65

1有关极限四则运算的讨论65

2用极限四则运算计算极限67

3有界函式与无穷小量的乘积定理73

2-3极限存在準则、两个重要极限74

2-3-1内容提要74

2-3-2例题分析74

1两个重要极限及其应注意的问题74

2利用极限存在準则求极限79

2-4无穷小量的比较82

2-4-1内容提要82

2-4-2例题分析83

1利用等价无穷小代换求极限83

2加减运算中用各自的等价无穷小代换求极限的条件85

3无穷小量阶的判定88

2-5连续函式92

2-5-1内容提要92

1函式的连续定义92

2间断点的定义92

3连续函式的性质92

4最大值和最小值定理93

5介值定理93

2-5-2例题分析93

1连续函式概念中的一些问题93

2函式关係已显示的函式(包括分段函式)的连续性95

3函式关係未显示的函式的连续性99

2-6综合题、杂题102

2-7习题与答案111

2-7-1习题111

2-7-2答案115

第3章导数与微分117

3-1导数概念及其几何意义117

3-1-1内容提要117

1函式在一点可导117

2函式在区间上可导118

3导数的几何意义119

3-1-2例题分析120

1利用定义求函式的导数以及与导数概念有关的问题120

2利用导数的几何意义求曲线的切线方程128

3-2导数计算131

3-2-1内容提要131

1导数的基本公司131

2导数运算的基本法则132

3複合函式求导法132

4反函式求导法133

5隐函式求导法133

6对数微分法133

7由参数方程所确定的函式的求导法134

3-2-2例题分析134

1利用四则、複合、隐函式求导法则求函式的导数134

2与导数的几何意义、物理意义有关的问题146

3-3微分概念、性质及其在近似计算中的套用156

3-3-1内容提要156

1函式在一点可微156

2函式在区间上可微157

3微分的几何意义157

4微分近似公式157

5微分的基本公式和运算法则157

3-3-2例题分析159

1与微分概念有关的问题159

2利用微分运算法则求函式的微分162

3利用微分近似公式计算函式的近似值164

4有关绝对误差、相对误差的计算168

3-4高阶导数169

3-4-1内容提要169

1高阶导数的定义169

2莱布尼茨公式170

3-4-2例题分析170

1利用定义或充要条件考察函式在一点的二阶可导性170

2利用求导的运算法则求函式的二阶导数172

3求函式的n阶导数的几种方法175

4高阶导数的物理套用179

3-5习题与答案182

3-5-1习题182

3-5-2答案194

第4章导数的套用204

4-1微分中值定理204

4-1-1内容提要204

1罗尔定理204

2拉格朗日定理204

3柯西定理205

4-1-2例题分析205

1对微分中值定理的条件、结论正确理解与运用205

2有关证明不等式的几个命题207

3证明不等式209

4有关函式零值点或方程根的问题216

5利用微分中值定理证明有关ζ的问题218

6综合题、杂题223

4-2求未定型的极限226

4-2-1内容提要226

1洛必达法则226

2函式在一点可导的充分条件227

4-2-2例题分析229

1用洛必达法则求未定型极限229

2如何求幂指函式的极限 limx→x0f(x)g(x)238

3利用可导的充分条件考察函式在一点的可导性242

4-3泰勒公式248

4-3-1内容提要248

1带有拉格朗日余项的泰勒公式248

2带有佩亚诺余项的泰勒公式249

35个初等函式的麦克劳林公式249

4-3-2例题分析250

1如何把函式在一点展成泰勒公式250

2利用泰勒公式确定无穷小量的阶数256

3利用泰勒公式(佩氏余项)求未定型极限257

4利用泰勒公式(拉氏余项)求函式近似值，并估计误差264

4-4函式的研究及函式作图267

4-4-1内容提要267

1函式的增减性与函式的极值点267

2函式在一区间上的最大值和最小值268

3曲线的凹凸性与曲线上的拐点269

4曲线的渐近线270

4-4-2例题分析270

1如何求函式的增减区间及极值点270

2如何求曲线的凹凸区间及拐点和渐近线273

3如何作函式的图形276

4如何求函式在定义域上的最大值和最小值282

5最大、最小值的套用问题285

6利用导数证明可导函式的单调性289

7利用导数确定函式零值点(或方程的根)292

8综合题、杂题295

4-5习题与答案303

4-5-1习题303

4-5-2答案313

第5章不定积分320

5-1简单的不定积分计算320

5-1-1内容提要320

1原函式与不定积分概念320

2基本积分表320

3不定积分基本性质321

4简单的变数代换法321

5-1-2例题分析322

1基本题分析322

2典型方法题分析327

5-2变数代换法与分部积分法340

5-2-1内容提要340

1变数代换法340

2分部积分法340

5-2-2例题分析340

1变数代换法340

2分部积分法347

5-3有理函式积分法358

5-3-1内容提要358

1有理函式概念358

2简单分式和它们的积分359

3有理既约真分式的积分360

5-3-2例题分析360

5-4三角函式有理式的积分364

5-4-1内容提要364

1定义364

2求三角函式有理式的积分的方法365

5-4-2例题分析365

5-5简单无理函式的积分370

5-5-1内容提要370

5-5-2例题分析371

1被积函式含有x, nax+bcx+d 有理式的积分371

2被积函式含有x, ax2+bx+c 有理式的积分372

5-6综合题、杂题377

5-7习题与答案383

5-7-1习题383

5-7-2答案388

第6章定积分395

6-1定积分的概念与性质395

6-1-1内容提要395

1积分和395

2定积分定义395

3定积分的几何意义396

4性质396

5定理397

6-1-2例题分析397

1有关定积分概念中的一些问题397

2不等式的证明406

6-2定积分计算411

6-2-1内容提要411

1变上限定积分411

2牛顿-莱布尼茨公式412

3变数代换法计算定积分412

4分部积分法计算定积分412

5计算技巧及公式412

6-2-2例题分析413

1概念题及简单的计算题413

2用定积分计算和式的极限423

3有关变上限定积分的例题427

4综合题、杂题434

6-3定积分套用452

6-3-1内容提要452

1用定积分解决实际问题的一般方法452

2常用的几个公式453

6-3-2例题分析455

1定积分的几何套用——平面图形的面积与弧长455

2定积分的几何套用——体积461

3定积分的物理套用——动能、转动惯量、引力、功及质心467

6-4广义积分483

6-4-1内容提要483

1积分区间为无穷的广义积分483

2被积函式有无穷型不连续点的广义积分484

3收敛性判别法485

6-4-2例题分析486

6-5习题与答案497

6-5-1习题497

6-5-2答案503

第7章空间解析几何及矢量代数507

7-1空间直角坐标系矢量代数507

7-1-1内容提要507

1空间直角坐标系的基本问题507

2矢量507

3矢量在轴上的投影,射形定理508

4矢量的坐标表达式508

5矢量的加、减法和数乘矢量509

6线性关係510

7矢量的数量积（点积）510

8矢量的矢量积（叉积）510

9三个矢量的积511

7-1-2例题分析512

1矢量的概念及其加减法512

2数乘数量积矢量积517

3杂题证明题523

7-2平面与直线(一)531

7-2-1内容提要531

1曲面与方程531

2平面方程531

3直线方程532

7-2-2例题分析533

1特殊平面的方程533

2求平面的方程535

3求直线的方程538

7-3平面与直线(二)545

7-3-1内容提要545

1有关平面的问题545

2有关直线的问题545

3直线和平面的有关问题546

7-3-2例题分析547

1平面之间的夹角，直线与平面的交点，直线间平行、垂直、相交547

2直线在平面上的投影方程553

3平面直线的综合题杂题555

7-4二次曲面的标準方程574

7-4-1内容提要574

1曲面与方程574

2空间曲线与方程575

3二次曲面的标準方程575

7-4-2例题分析576

1球面方程、旋转面方程576

2投影柱面、投影曲线方程580

3作方程的图形581

4杂题583

7-5习题与答案585

7-5-1习题585

7-5-2答案593

自我检查题及解答597

自我检查题(1)597

自我检查题(1)解答598

自我检查题(2)607

自我检查题(2)解答608