一个在 的矩阵上的矩阵範数(matrix norm)是一个从 线性空间到实数域上的一个函式，记为|| ||，它对于任意的 矩阵A和B及所有实数a，满足以下四条性质：

在一些教科书上定义的矩阵範数是对于 阶矩阵的，这种定义往往要求矩阵满足相容性，即

5.||AB||<=||A|| ||B||. （相容性）

在本文中，对于矩阵範数的定义仅要求前4条性质，而满足第5个性质的矩阵範数称为服从乘法範数（sub-

multiplicative norm）

一般来讲矩阵範数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵範数通常也称为相容範数。　如果║·║α是相容範数，且任何满足║·║β≤║·║α的範数║·║β都不是相容範数，那幺║·║α称为极小範数。对于n阶实方阵(或複方阵)全体上的任何一个範数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小範数。

注：如果不考虑相容性，那幺矩阵範数和向量範数就没有区别，因为m*n矩阵全体和m*n维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性运算元的特徵，这一点和运算元範数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

把矩阵看作线性运算元，那幺可以由向量範数诱导出矩阵範数　║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，它自动满足对向量範数的相容性　║Ax║ ≤ ║A║║x║，　并且可以由此证明　║AB║ ≤ ║A║║B║。

注：1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理)，从而上面的连续函式可以取到最值。

2.显然，单位矩阵的运算元範数为1。

常用的三种p-範数诱导出的矩阵範数是：

1-範数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和範数，A每一列元素绝对值之和的最大值)　(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)；

2-範数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德範数,谱範数,即A^H*A特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)；

∞-範数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和範数，A每一行元素绝对值之和的最大值)　(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似)；

其它的p-範数则没有很简单的表达式。

对于p-範数而言，可以证明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共轭指标。

简单的情形可以直接验证：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。

有些矩阵範数不可以由向量範数来诱导，比如常用的Frobenius範数(也叫Euclid範数，简称F-範数或者E-範数)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。容易验证F-範数是相容的，但当min{m,n}>1时F-範数不能由向量範数诱导(||E11+E22||F=2>1)。可以证明任一种矩阵範数总有与之相容的向量範数。例如定义　║x║=║X║，其中X=[x,x,…,x]是由x作为列的矩阵。由于向量的F-範数就是2-範数，所以F-範数和向量的2-範数相容。

另外还有以下结论：　║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F

1、矩阵的谱半径和範数的关係

定义：A是n阶方阵，λi是其特徵值，i=1,2,…,n。则称特徵值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ(A)。　注意要将谱半径与谱範数(2-範数)区别开来，谱範数是指A的最大奇异值，即A^H*A最大特徵值的算术平方根。谱半径是矩阵的函式，但不是矩阵範数。

2、谱半径和範数的关係是以下几个结论：

定理1：谱半径不大于矩阵範数，即ρ(A)≤║A║。

因为任一特徵对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取範数并利用相容性即得结果。

定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵範数使得║A║<ρ(A)+e。

定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。

利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：

推论1：矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。

推论2：级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

定义：如果範数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那幺这个範数称为酉不变範数。　容易验证，2-範数和F-範数是酉不变範数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的範数是酉不变的，比如2-範数是最大奇异值，F-範数是所有奇异值组成的向量的2-範数。　反过来可以证明，所有的酉不变範数都和奇异值有密切联繫：　定理(Von Neumann定理)：在酉不变範数和对称度规函式(symmetric gauge function)之间存在一一对应关係。　也就是说任何酉不变範数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函式。

对任何两个向量範数||·||_αand ||·||_β，我们有

对某个正数r与s，中所有矩阵A成立。换句话说，它们是等价的範数；它们在上诱导了相同的拓扑。

此外，当，则对任何向量範数 ||·||，存在惟一一个正数k使得k||A|| 是一个（服从乘法）矩阵範数。

一个矩阵範数||·||_α称为“极小的”，如果不存在其它矩阵範数||·||_β满足||·||_β≤||·||_α。

对矩阵如下不等式成立：

这里，||·||_p表示由向量p-範数诱导的矩阵範数。

向量範数之间另一个有用的不等式是

。