端点定理(extreme point theorem)是描述局部凸空间端点集合结构的定理。设A为线性空间E的子集，点称为A 的端点，如果任何含有点的线段包含在A内，则就是该线段的端点。当A是局部凸空间E的紧凸集时，A 的端点全体所成集合的闭凸包与A 相等，这个命题称为克列因-米尔曼端点定理，克列因和米尔曼于1940 年就赋范线性空间的情形证明了上述定理。端点方法已成为研究凸性的一种重要工具。

端点在凸集几何理论中是一个非常基本且重要的概念。所谓是集合E端点，是指如果，必有。其中E是线性空间x中的一个子集，并记E的端点的全体为。

端点(extreme point)是凸集中的特殊点，它使该凸集去掉它后仍是凸集。设A为实线性空间X中的凸集。是A的端点的充分必要条件：如果存在，使得，那幺。局部凸空间中的紧凸集一定是其端点集的闭凸包(克列因-米尔曼定理)。当空间是有限维时，上述结果中闭凸包可改为凸包(闵科夫斯基定理)。这一结果也就是说，紧凸集中的每一点都可用关于端点的凸组合来表示。“无限”凸组合可用关于机率测度的积分来表示。由此就引起绍凯积分表示定理：局部凸空间中的紧凸集中的每一点都可通过在端点集上定义一机率测度，使得该点有积分表示。

端点概念可以推广为一般的端子集。例如，对于凸锥可定义端射线为该凸锥去掉它后仍是凸锥，绍凯积分表示定理可推广到凸锥情形，这时绍凯积分表示理论就与函式类的积分表示理论紧密联繫起来。

端点线上性规划理论中也起重要作用。每一线性规划的解一定在它的可行集的端点上达到。因此，只需比较目标函式在端点上的值就可求得规划的解，这正是单纯形方法的基本思想。

接下来引入本文最为重要的一个概念——可约，它是证明一般线性拓扑空间中紧集端点存在的充分必要条件的关键要素。

定义2 线性拓扑空间X中的一紧子集E称为可约的，是指当E不是单点集时，必存在E的非空真紧子集具有性质：对于任意，若且，则必有。其中称为E的约化项。

注1 若E是单点集，则规定E是可约的，且其约化项即为其自身。

注2 若为E的约化项，则是紧的而且。

讨论一般线性拓扑空间中紧集的端点存在性。以下空间X均表示线性拓扑空间。

引理1 设E为空间x中一紧集，若某一单点集是E的约化项，则。

定理1中一切紧集有端点的充分必要条件是每一紧集都是可约的。

命 题 i) 设是中势大于1的紧集，若存在E上不恆为常数的连续凸泛函，则必是可约的；

ii) 若对中每一势大于1的紧集都存在其上相应的不恆为常数的连续凸泛函，则该紧集必有端点。

定理2 设是局部凸线性拓扑空间，则的每一紧子集必有端点。

Krein-Milman定理/端点定理：设X是局部凸线性拓扑空间，E为X的紧凸子集，则。

证明：首先，可推知，下面证明。不妨令，则显然。于是只需证明同时也成立即可。

假设存在，则由凸集严格分离定理可知，存线上性连续泛函，使

令，则即为E的约化项，于是。设，则据约化定义，。这显然与式(1)矛盾。因此假设错误，即。从而即证得。