定义1 设X为非空集，{A_α}是X中的一族子集， ，如果

则称集合族{A_α}是A的一个覆盖。

注：1）如果{A_α}中任意有限个集合之交非空，则称{A_α}具有有限交性质。

2）在定义1中，当{A_α}是X中的开集族时，称其为A的开覆盖。

定义2 设X为拓扑空间， ，如果在任何一个覆盖A的开集族中总可取到有限个开集覆盖A，则称A是X 中的紧緻集，简称紧集。

定义3 拓扑空间X称为局部紧的，是指X中每一点都有闭包为紧的邻域。

例如，按通常的拓扑，Rⁿ是非紧的，但它却是局部紧的。

性质1 Hausdorff空间X中的紧集必是闭集。

证明：设A 为Hausdorff空间X中的紧集，今证 . 若不然，必有A的聚点x₀，x₀∉A. 利用Hausdorff分离性，对任何x∈A，必有x的邻域U_x和x₀的邻域U'_x，使U_x∩U'_x=∅. 显然，{U_x|x∈A}是A的一个开覆盖。根据A 的紧性，存在它的一个有限子覆盖，设为{U_xi| i=1,2，...，n}. 记

于是，U是x₀的一个领域，且 这矛盾于x₀是A的聚点。证毕。

注：1）若拓扑空间中任意两个不同的点有互不相交的邻域，则称该拓扑空间满足T₂分离公理，也称该拓扑空间为Hausdorff空间。

2）拓扑空间的紧集未必是闭集。

性质2 紧集的闭子集是紧集。

证明：设A 是拓扑空间X中的紧集，B是其闭子集，设{F_α}为闭子集族，且{F_α∩B}具有有限交性质。注意到（F_α∩B）∩A=F_α∩B，对闭子集族{F_α∩B}而言，{（F_α∩B）∩A}具有有限交性质。由A的紧性，利用下面的定理1，得：（∩_αF_α）∩B=[∩_α（F_α∩B）]∩A≠∅，因而B是紧集。证毕。

性质3 拓扑空间中有限个紧集的并仍为紧集，两个紧集的交未必是紧的，但闭且紧的子集的任意交是闭且紧的。

性质4 拓扑空间的紧集的闭包可以不是紧的，但T₃空间的紧集的闭包是紧的。

定理1 A是拓扑空间X中的紧集的充要条件是对X中任何闭集族{F_α}，如果{F_α∩A}具有有限交性质，则（∩_αF_α）∩A=∅.

定理2 设X为距离空间，M是X的子集，则M为紧集的充要条件是M为列紧闭集。

定理3 有限维赋范线性空间中的有界闭集是紧集。

注：1）定理1-3的证明见参考文献[2]的19-27页。

2）由定理2可知：A是距离空间X中紧集的充要条件是A 中任何点列必有在A中收敛的子列。

1.设X是无限维的赋范线性空间，则X中的单位球{x | ||x|| ≤1}非紧。

证明：证明见参考文献[2]的28页。

利用定理4的结论，不难证得：若E是无限维的Banach空间，I：E→E为恆等运算元，则I不是紧运算元。

2.记紧空间X上的连续函式全体为C（X），对f∈C（X），记

则C（X）按 为一个Banach空间。

3.设X是紧距离空间， ，可利用Arzela-Ascoli定理来证明M的列紧性。

4.（Tychonov定理）设Xα是紧拓扑空间，则其乘积空间 也是紧的。