在数学里，作用于一个有限维的内积空间，一个自伴运算元(self-adjoint operator)等于自己的伴随运算元；等价地说，表达自伴运算元的矩阵是埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴运算元为一个实值的对角矩阵。
基本介绍
- 中文名：自伴运算元
- 外文名：(self-adjoint operator
- 套用学科：数学术语
- 範畴：数理科学
- 同类：对称运算元
- 涉及：埃尔米特矩阵
概念
在数学里，作用于一个有限维的内积空间，一个自伴运算元(self-adjoint operator)等于自己的伴随运算元；等价地说，表达自伴运算元的矩阵是埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴运算元为一个实值的对角矩阵。
基本原理
定义：设
是
空间
上的稠定线性运算元，如果
⊂
，则称
为对称运算元；如果
，则称
为自伴运算元。
例子：设
为
上的
平方可积函式空间，即
，在
上定义运算元
如下：
下面证明
。注意到
，
，其中
有
其次，设
，
，
，对于
，有
当
时，因
，故
。又因
，故
。这样，
，即
⊂
。
对
，当
时，
，故而
当
时，因
，故
，即
，所以
，即
⊂
。
当
时，由
得
是绝对连续函式，
，从而
，这样
⊂
。证毕。