拓扑线性空间理论是泛函分析的一个重要分支，又称之为拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，是赋范线性空间概念的推广。其基本概念建立于20世纪30年代，而今已经发展成为一门完整的学科，在纯粹数学和套用数学、理论物理、现代力学和现代工程理论中都有广泛套用。

20世纪初，法国数学家弗雷歇在引入距离空间，并用距离概念来统一过去分析学中的许多重要收敛时，就知道[a，b]上一列函式的“点点收敛”概念是不能用距离收敛来描述的。20世纪30年代以来，泛函分析中大量套用弱收敛、弱拓扑，它们都不能用距离来描述。这就很自然地把赋范线性空间理论发展成更一般的拓扑线性空间理论，其中最主要的成就是局部凸拓扑线性空间理论。这一分支的发展是与一般拓扑学的发展紧密联繫在一起的。拓扑学方法在这里发挥了极其重要的作用，法国数学家勒雷和波兰数学家绍德尔所推广的不动点定理就是有力的例证之一。1935年以后，经过十多年的努力，这一分支终于形成，它的许多结果不仅在泛函分析中有着广泛的套用，而且为其他分析学科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

分析数学中常常出现各种不同的收敛性，它们都可以统一地用拓扑空间的语言来刻画。

定义1 设X是非空集合， 是由X的某些子集所组成的集类，如果

（1）

（2） 中任意个集合的和集属于 ；

（3） 中任意两个集合的交集属于 ；

则称 为拓扑空间，称 为X上的拓扑，称 中的集合为 中的开集，称开集的余集为闭集。

注：在拓扑 明确的情况下，常简称X为拓扑空间。

现代数学常见的空间中不仅具有拓扑结构，而且元素之间可以自然地进行线性运算，其中线性运算关于相应的拓扑还是连续的。

下面是拓扑线性空间的定义。

定义2 设X为实数域或複数域K上的线性空间， 是X上的拓扑，如果

（1）加法是 的连续映射；

（2）数乘是 的连续映射；

则称 是X上的向量拓扑或线性拓扑，称 为拓扑线性空间或拓扑向量空间。

注：1）零元的均衡的邻域全体组成零元的邻域基。

2）满足T₁分离公理的拓扑线性空间是完全正则的。

例1 设Eⁿ为n维Euclid空间，对x，y∈Eⁿ，x={x_i}，y={y_i}，规定

Eⁿ中的子集族

即 是Eⁿ中按通常意义的开集全体，则 是Eⁿ上的一个拓扑。并且，Eⁿ按线性运算

为拓扑线性空间。

例2 对p≥1， 对 规定

可知 按线性运算

为拓扑线性空间。

定义3 如果拓扑线性空间X满足T₂分离公理，而且X中任何包含0的开集都包含一个均衡吸收的凸开集，则称X为局部凸的拓扑线性空间，简称为局部凸空间。

如果拓扑线性空间中的拓扑由距离导出，则得到距离线性空间的概念。由于任何距离线性空间均可改赋一个等价的平移不变的距离，即满足

的距离，因而只需考察具有平移不变距离的线性空间。下面给出一个重要概念。

定义4 设X为线性空间，定义于X上的 满足：

（1）

（2）

（3）

（4）

则称X为赋準范线性空间。

赋準范线性空间是一个具有平移不变距离的距离线性空间，其距离由

决定。