竞赛简介

历届情况

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第二届

第七届

第八届

竞赛组委会

主任

副主任

委员

竞赛用书

竞赛大纲

1. 竞赛的性质和参赛对象
   

1. 竞赛的内容
   

1. 集合与函式
   1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
   2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.
   3.函式、映射、变换概念及其几何意义，隐函式概念，反函式与逆变换，反函式存在性定理，初等函式以及与之相关的性质.
   
2. 极限与连续
   1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
   2. 数列收敛的条件（Cauchy準则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关係），极限及其套用.
   3.一元函式极限的定义、函式极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛準则，两个重要极限及其套用，计算一元函式极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函式重极限与累次极限概念、基本性质，二元函式的二重极限与累次极限的关係.
   4. 函式连续与间断、一致连续性、连续函式的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函式的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.
   
3. 一元函式微分学
   1.导数及其几何意义、可导与连续的关係、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关係、一阶微分形式不变性.
   2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
   3.一元微分学的套用：函式单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函式及其套用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函式图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.
   
4. 多元函式微分学
   1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关係，複合函式的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方嚮导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函式中值定理与Taylor公式.
   2.隐函式存在定理、隐函式组存在定理、隐函式（组）求导方法、反函式组与坐标变换.
   3.几何套用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.
   4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.
   
5. 一元函式积分学
   1. 原函式与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函式积分：型，型.
   2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函式类.
   3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函式、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
   4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛準则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函式广义积分概念及其收敛性判别法.
   5. 微元法、几何套用（平面图形面积、已知截面面积函式的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他套用.
   
6. 多元函式积分学
   1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.
   2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.
   3.重积分的套用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.
   4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.
   5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
   6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.
   7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关係.
   
7. 无穷级数
   1. 数项级数
   

1. 函式项级数
   

1. 幂级数
   

1. Fourier级数
   

1. 多项式
   1. 数域与一元多项式的概念
   2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
   3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.
   4. 多项式函式、余数定理、多项式的根及性质.
   5.代数基本定理、复係数与实係数多项式的因式分解.
   6. 本原多项式、Gauss引理、有理係数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
   7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.
   
2. 行列式
   1. n级行列式的定义.
   2. n级行列式的性质.
   3. 行列式的计算.
   4. 行列式按一行（列）展开.
   5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.
   6. 克拉默(Cramer)法则.
   
3. 线性方程组
   1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
   2. n维向量的运算与向量组.
   3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
   4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.
   5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关係.
   6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
   7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
   
4. 矩阵
   1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.
   2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关係.
   3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
   4. 分块矩阵及其运算与性质.
   5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标準形.
   6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
   
5. 双线性函式与二次型
   1. 双线性函式、对偶空间
   2. 二次型及其矩阵表示.
   3. 二次型的标準形、化二次型为标準形的配方法、初等变换法、正交变换法.
   4. 複数域和实数域上二次型的规範形的唯一性、惯性定理.
   5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
   
6. 线性空间
   1.线性空间的定义与简单性质.
   2. 维数，基与坐标.
   3. 基变换与坐标变换.
   4. 线性子空间.
   5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
   
7. 线性变换
   1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
   2. 特徵值与特徵向量、可对角化的线性变换.
   3.相似矩阵、相似不变数、哈密尔顿-凯莱定理.
   4. 线性变换的值域与核、不变子空间.
   
8. 若当标準形
   1.矩阵.
   2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
   3. 若当标準形.
   
9. 欧氏空间
   1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
   2. 标準正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.
   3. 欧氏空间的同构.
   4. 正交变换、子空间的正交补.
   5. 对称变换、实对称矩阵的标準形.
   6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标準形.
   7. 酉空间.
   

1. 向量与坐标
   1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
   2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
   3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
   4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及套用.
   5. 套用向量求解一些几何、三角问题.
   
2. 轨迹与方程
   1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关係.
   2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关係.
   3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、套用向量建立简单曲面、曲线的方程.
   4.球面的标準方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
   
3. 平面与空间直线
   1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.
   2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.
   3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关係.
   4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关係、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.
   
4. 二次曲面
   1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
   2.椭球面、双曲面与抛物面的标準方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标準方程.
   3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
   4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.
   
5. 二次曲线的一般理论
   1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
   2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
   3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
   4.二次曲线的主轴、主方向，特徵方程、特徵根.
   5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
   

1. 函式、极限、连续
   

1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
   
2. 变数可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.
   
3. 可用简单的变数代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .
   
4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.
   
5. 二阶常係数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常係数齐次线性微分方程.
   
6. 简单的二阶常係数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函式、正弦函式、余弦函式，以及它们的和与积
   
7. 欧拉(Euler)方程.
   
8. 微分方程的简单套用
   

获奖名单