算术和也称为区间分析，是定义在区间上的一组运算规则。其主要特点是能处理不确定数据,自动记录计算机浮点运算中所产生的截尾和捨入误差,高效而可靠地估计函式在某个自变数区域的取值範围,从而被广泛套用于自然科学的各个领域。区间算术兴起于20世纪60年代,从20世纪80年代初开始在计算机图形学(CG)及计算机辅助设计(CAD)领域得到重要套用。为了解决这个问题,仿射算术和(affinearithmetic,简记为AA)作为区间算术的一种改进形式于20世纪90年代初被提了出来,近年来在曲线曲面绘製中得到更加广泛的套用。本文从计算机图形套用的角度,综述了区间、仿射算术及它们的改进形式即矩阵或张量形式的修正仿射算术和递归Taylor方法的理论研究成果,以及它们的特点、原理、地位、作用、局限性、发展史以及套用概况,并探讨了未来的研究方向和研究重点。

区间算术和的缺点就是过于保守,经区间算术运算所得到的区间常常比实际範围大得多,甚至到了毫无用处的地步,这个问题在一个接一个的区间运算的长计算链中尤其突出,会导致所谓的误差爆炸0现象,而这样的长计算链在实际计算中经常出现。为了解决区间算术这个过于保守的问题,仿射算术的概念。与区间算术一样,仿射算术也能够自动记录浮点数的截尾和捨入误差,此外它还能自动记录各个不确定量之间的依赖关係,正是由于这个额外的信息,仿射算术能得到比区间算术紧得多的区间,特别在长计算。

代数，乃是数学学习的关键点。由算术进入代数，不仅是引入了文字元号来处理运算，同时也代表着数学的学习要从具体情境进入抽象概念。在所有国家的中国小数学课程中，代数均处于核心的地位。这不仅是因为代数是数学的基础，它是一种解决问题的工具，它提供了一种一般化的语言和结构去分析量之间的关係、建立模型以及说明和证明；而且因为代数的知识内容及其处理方式比较符合中小学生的认知水平和心理特点。2005 年全美数学教师协会（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）年会上，提出要实现“为每个人的代数”目标就要从中国小课程及教学上下功夫。美国数学教育者以及课程决策者认为，代数已经成为通向高等教育和机会的大门，成功参与民主社会和科技市场离不开代数思维。协会亦在《学校数学的準则与标準》一书中揭示了代数在学校数学教学的重要性：代数不但是学校数学中一个重要的部分，而且有助于整合学校数学。代数对于学生未来的生活相当重要，不管是工作或是继续升学，所有的学生都必须学习代数（NCTM,2000）国内外的研究中，对代数思维于学生思维发展的重要意义有着一致的认同。国中六年级阶段“套用题”这一教学内容，正好是承上启下代数思维教学的载体，既与国小高年级套用题内容相连线，又为七年级用字母和符号表示从问题情境中抽象出来的各种关係的代数学习作了铺垫，还可以在悄然间完成学生从算术思维向代数思维初步转变的过程问题的提出教学中我们发现，上海市学生在六年级的时候处于从算术思维的学习向代数的学习过渡的极为重要的转变阶段。此时，一方面，数学知识发生了急剧的变化，另一方面，国中教师的教学方式、学生的学习方式等较国小都有所改变，所以六年级学生在一元一次方程解决中学习代数思维内容时面临很大的挑战。学生从算术到代数的过渡，需要从对数的思考向对符号的思考的转变。

套用题可以被定义为一种文字描述的问题情境，其中，会提出一个或以上的问题，问题的答案可以通过对问题陈述中所提供的数字数据进行数学计算而获得。套用题最典型的形式中，题目的文本中对于情境中的必需条件有着清晰的描述，只是某些是明给的，有些则不是。问题的解决者需要通过明确而有针对性地运用题乾中的已知量，并且结合已知量之间的数学关係，给出针对特定问题的数值答案。套用题在初等数学教育中的地位十分重要，不仅是因为可以激发学生学生并帮助他们发展逻辑思维，而且还因为套用题可以对学生有效解决生活中遇到的实际问题产生积极的影响。界定二：按照系统论的观点，如果一个数学问题的内容纯粹娃有关数学对象和方法的，那幺它就是一个纯数学问题。纯数学问题己脱离了实际特景，它由简明而乂抽象的数学语言来表述。与纯数学问题相对而言的是实际问题，它是人们在实际生活中所遇到的问题。在我们把一些实际问题的复勤背景和条件进行简化后，如果这个简化的实际问题可以转化为纯数学问题来求解，那幺它就叫做数学套用题。界定一主要是从套用题的构成结构，以及解决过程的本质的角度所给出的定义，界定二则是从问题的本质出发，将数学套用题与纯数学问题进行比较，突出数学套用题的特点。笔者综合上述两种观点，将本文中的套用题概念界定为：将实际生活中遇到的问题简化成纯数学问题求解，写成一种文字描述的问题情境，由包含已知量的条件和若干包含未知量的问题组成。

既用算术法又用代数。根据蔡金法的观点：同时用算术和代数的方法解决问题，能帮助学生建立对问题的算术和代数的思维方法。也许在过渡阶段的初期，学生不明白为什幺要用解方程的方法解决问题，但是，经过同时使用两种方法的阶段，学生会认识到用方程解决问题的优越性。教学生同时用算术和代数的方法解决问题有以下三个益处：（1）通过对数量关係的算术和代数的表示，帮助学生对数量关係的深度理解；（2）引导学生髮现算术方法和代数方法之间的相似和差异，以便理解更一般的代数方法的威力；（3）发展学生的思维技能以及使用适当的方法解决问题的灵活性。“先描述再计算”是造成代数与算术不同的关键特徵。算术与代数方法的比较能突显这一独特的性质。