本书按照《工科类本科数学基础课教学基本要求》，并参照《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》，同时结合作者多年的教学经验编写而成.

本书分上、下两册.上册内容包括函式、极限、连续，导数与微分，微分中值定理与导数的套用，不定积分，定积分，定积分的套用与微分方程初步，空间解析几何，共7章.下册内容包括多元函式微分学及其套用，多元函式的积分及其套用，第二型曲线积分、曲面积分与场论，级数，微分方程，共5章.

本书注重基本概念、基本理论和基本方法的介绍和训练，内容体系完整，难度适中，便于组织教学，能够在规定的课时内达到各个专业对本科公共数学基础课教学的基本要求，可供高等院校工科类专业的学生使用.

随着我国社会和经济建设的高速发展，全国高等教育规模日益扩大，工科院校各专业对公共数学课的课程建设、教学内容的更新和教材建设提出了新的要求.与此同时，全国硕士研究生入学统一招生考试的规模也在不断扩大，其中数学考试对于高等院校工科类专业的公共数学课的影响也愈来愈大.为适应这个变化，许多学校工科类专业的数学基础课，经过多年调整，实际教学大纲已经与工科类研究生入学统一考试的考试大纲所涉及的内容逐步协调一致.“工科数学基础”正是适应我国高校工科类专业教学改革的新形势、新变化，适时推出的一套教材.全套教材包括《高等数学教程》（上册、下册）、《线性代数教程》、《机率统计教程》，以及相应的学习指导用书.

本套教材是参照教育部教学指导委员会颁布的《工科类本科数学基础课教学基本要求（修改稿）》和教育部颁布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的要求编写的.突出了对这两个大纲所涉及的基本概念、基本理论和基本方法的介绍和训练，内容完整紧凑，难度适中，便于组织教学，能够在规定的课时内达到各个专业对公共数学基础课教学的基本要求.

本套教材针对主教材配套推出了《高等数学教程学习指导》、《线性代数教程学习指导》、《机率统计教程学习指导》这三本相应的学习指导用书.主要通过精选典型例题，对教材的每个章节进行系统的归纳总结，说明重点难点，进行答疑解惑，其中包括对教材中多数习题提供解答，便于学生自学.此外，还着重对教材中的题目类型作必要的补充，增加了相当数量的研究生入学统一考试试题题型，力求在分析问题和综合运用知识解决问题的能力方面，帮助学生实现跨越，达到全国硕士研究生入学统一考试对数学（一）、（二）的要求.因此，这三本学习指导用书完全可以实现全国硕士研究生入学统一考试数学考试複习参考书的功能，在日后报考研究生时发挥积极作用.

参加“工科数学基础”的编写人员大多具有30年以上从事公共数学基础课程的教学研究、教材研究和教学实践的经历，其中很多教师还多年从事研究生入学统一考试数学考试考前辅导工作，有相当高的知名度.因此，作者在把握工科类公共数学基础课程的教学内容和要求、时数安排和难易程度，以及教学与考研之间的协调关係等方面均具有丰富的经验，这对于本套教材的编写质量是一个可靠的保障.

我们知道，一套便于使用的成熟的教材往往需要多年不断的磨鍊和广大读者的支持与帮助.欢迎广大读者对于本套教材使用过程中存在的不足提出批评和建议.

《工科数学基础》作者

2007年3月

第1章 函式、极限、连续1

1.1 函式1

1.1.1 预备知识1

1.1.2 函式的概念及其图形3

1.1.3 函式值的计算、分段函式4

1.1.4 函式的几种特性5

1.1.5 反函式6

1.1.6 函式的四则运算与複合运算7

1.1.7 初等函式8

1.1.8 双曲函式9

习题1.111

1.2 极限与连续的概念13

1.2.1 数列的极限13

1.2.2 函式在无穷远处的极限15

1.2.3 函式在一点的极限17

1.2.4 单侧极限18

1.2.5 函式连续的概念18

1.2.6 函式极限与数列极限的关係20

习题1.221

1.3 极限与连续的基本性质21

1.3.1 无穷小与无穷大21

1.3.2 保序性定理及其推论23

1.3.3 极限与连续的四则运算法则25

1.3.4 複合函式的极限与连续26

1.3.5 初等函式的连续性27

1.3.6 幂指函式的极限27

1.3.7 无穷小、无穷大的比较，等价变数的概念与性质28

习题1.330

1.4 极限存在的準则与两个重要极限32

1.4.1 夹逼準则32

1.4.2 重要极限lim?x→0?sin??xx?=132

1.4.3 单调有界变数必有极限準则33

1.4.4 重要极限lim?x?→∞1+1?x???x?=e34

习题1.437

1.5 闭区间上连续函式的性质与函式的间断点38

1.5.1 介值定理38

1.5.2 最值定理39

1.5.3 反函式的连续性定理40

1.5.4 函式的间断点及其分类40

习题1.540

1.6 自测题41

第2章 导数与微分43

2.1 导数的概念43

2.1.1 导数的定义43

2.1.2 求导数的例子45

2.1.3 单侧导数、无穷导数47

2.1.4 可导与连续的关係48

习题2.148

2.2 求导的运算法则49

2.2.1 求导的四则运算法则49

2.2.2 複合函式的求导公式--链锁法则51

2.2.3 反函式的求导公式53

2.2.4 导数的基本公式与求导的运算法则小结54

习题2.256

2.3 隐函式及参数式函式的求导方法，相关变化率57

2.3.1 隐函式的求导方法57

2.3.2 参数式函式的求导方法58

2.3.3 相关变化率59

习题2.359

2.4 高阶导数60

2.4.1 高阶导数的概念60

2.4.2 函式乘积的?n?阶导数63

习题2.464

2.5 微分65

2.5.1 微分的定义65

2.5.2 可微与可导的关係、微分的几何意义65

2.5.3 微分的运算法则66

2.5.4 微分在近似计算中的套用68

习题2.570

2.6 自测题71

第3章 微分中值定理与导数的套用73

3.1 微分中值定理73

3.1.1 费马定理--极值的必要条件73

3.1.2 微分中值定理74

习题3.177

3.2 洛必达法则78

习题3.283

3.3 泰勒公式84

习题3.388

3.4 利用导数作函式的图形89

3.4.1 函式单调性判别法89

3.4.2 函式极值判别法90

3.4.3 曲线的凹凸性与拐点92

3.4.4 函式的渐近线95

3.4.5 利用导数作函式的图形97

习题3.498

3.5 最值问题套用举例99

习题3.5102

3.6 曲率103

3.6.1 曲率的概念及其计算公式103

3.6.2 曲率半径与曲率圆105

3.6.3?* 曲率中心的计算公式105

习题3.6105

3.7 方程近似根的求法106

3.7.1 二分法106

3.7.2 切线法107

习题3.7108

3.8 自测题108

第4章 不定积分110

4.1 不定积分的概念与性质110

4.1.1 原函式与不定积分的概念110

4.1.2 基本积分公式表一112

4.1.3 不定积分的性质113

习题4.1114

4.2 换元积分法115

4.2.1 第一换元法115

4.2.2 第二换元法119

习题4.2121

4.3 分部积分法122

4.3.1 分部积分法122

4.3.2 基本积分公式表二125

4.3.3 积分表的查法126

习题4.3126

4.4 几类函式的一般积分法127

4.4.1 有理函式的积分法127

4.4.2 三角有理式的积分130

4.4.3 简单无理函式的积分131

习题4.4132

4.5 自测题133

第5章 定积分134

5.1 定积分的概念与性质134

5.1.1 曲边梯形面积的求法134

5.1.2 定积分的定义135

5.1.3 重要的可积性定理136

5.1.4 定积分的性质136

习题5.1139

5.2 微积分基本定理140

5.2.1 变上限积分140

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式142

习题5.2144

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法145

5.3.1 定积分的换元积分法145

5.3.2 定积分的分部积分法149

习题5.3151

5.4 广义积分152

5.4.1 无穷区间的广义积分152

5.4.2 无界函式的广义积分154

习题5.4157

5.5 广义积分的审敛法，Γ函式与B函式157

5.5.1 广义积分的审敛法157

5.5.2 Γ函式与B函式161

习题5.5163

5.6 自测题164

第6章 定积分的套用与微分方程初步166

6.1 定积分在几何上的套用166

6.1.1 定积分的微元法166

6.1.2 求平面图形的面积168

6.1.3 依平行截面的面积求立体的体积170

6.1.4 曲线的弧长172

6.1.5 旋转面面积的求法175

习题6.1177

6.2 定积分在物理上的套用178

6.2.1 变力下直线运动所做的功178

6.2.2 水压力179

6.2.3 引力的计算180

习题6.2181

6.3 微分方程初步182

6.3.1 微分方程的概念182

6.3.2 可分离变数方程的解法184

习题6.3186

6.4 自测题187

第7章 空间解析几何189

7.1 空间直角坐标系189

7.1.1 空间直角坐标系189

7.1.2 两点的距离190

习题7.1191

7.2 空间向量的概念及其线性运算191

7.2.1 空间向量的概念191

7.2.2 向量的加减法192

7.2.3 向量的数乘193

7.2.4 向量的坐标表示194

7.2.5 向量的模和方向余弦的计算公式195

习题7.2197

7.3 向量的乘积197

7.3.1 两向量的数量积197

7.3.2 二阶行列式与三阶行列式199

7.3.3 两向量的向量积199

7.3.4?* 三向量的混合积202

习题7.3203

7.4 平面及其方程204

7.4.1 平面的点法式方程与一般方程204

7.4.2 点到平面的距离206

习题7.4206

7.5 空间直线及其方程207

7.5.1 空间直线的方程207

7.5.2 两直线、两平面、直线与平面的夹角209

7.5.3 平面束211

习题7.5212

7.6 曲面及其方程213

7.6.1 曲面的一般方程与参数方程213

7.6.2 柱面215

7.6.3 旋转曲面217

习题7.6218

7.7 空间曲线及其方程219

7.7.1 曲线的一般方程与参数方程219

7.7.2 曲线在坐标面上的投影220

7.7.3?* 曲线的一般方程与参数方程的互化221

习题7.7222

7.8 二次曲面的方程222

习题7.8225

7.9 自测题226

习题答案227

附录245