原子核是一个有限的量子多体系统，它由质子和中子两种核子组成，核子间通过核力发生相互作用。基态的原子核具有壳结构，核子在类似原子系统的平均场中独立运动。壳结构、单粒子激发和集体运动是原子核系统中的三个方面。另外，原子核系统具有与原子系统不同的特性。最大的不同是，原子核是通过核力的吸引形成自束缚系统。由于吸引作用，核子的空间关联非常强，因此，出现了不同形式的核子聚集和发散。此外，原子核系统的饱和性，即单核子结合能和核心密度几乎为常数，与质量数无关，这意味着在很小的激发能作用下，核子就能够发生聚集和分散。因此，原子核的特性促使原子核形成结团结构，即原子核由几个结团和受束缚的核子组成。核子的聚集和分散一直持续到高激发能，中能重离子碰撞产生的大量结团和碎片核的激发能完全可以同原子核的结合能大小相提并论。

原子核的结构传统表述为质子和中子大致均匀分布。然而，即使在原子核科学的初期，人们就知道，核子的聚集（原子核的结团结构）对于描述轻核区核素的结构极其重要。在许多情况下，存在一个更加恰当的原子核图像，如图1.1所示。

物理情景中反对聚集的物理图像一直存在。反对聚集必然会导致势能的明显减小或者增加核素的稳定性。通过对2dF 银河系红移的研究表明，物质聚集成了细丝状的结构。这种聚集结构是由宇宙大爆炸的不均匀性发展而来。星球聚集形成星系或太阳系中行星受到太阳引力的束缚，尺度进一步减小，更加结团化。原子在气体相或液体相中形成分子，在固体相中形成晶体。强子内部的夸克相互约束，组成的夸克种类为一个特别的数字。因此，如果这种现象不能扩展到原子核领域，那将会令人震惊。轻核的结构在很大程度上受结团的影响。α 粒子结团在具有相同质子数和中子数的偶A核中最常见。丰中子核靠近衰变阈值时，会出现分子类结构，价中子在 α 粒子间不断交换。最大的挑战是可能形成三个中心的分子，甚至是更複杂的结构。位于中子滴线的原子核的稳定性限制只能通过最轻的核进行探测。原子核的结团核心周围存在中子云，称为中子晕，这是结团的一种形式。中子滴线的核素可能具有更多普遍的形式，即核心形成结团，结团周围环绕着价中子海，价中子（红色）在核心（蓝色）的周围不断交换，如图1.2所示。

图1.2 中子滴线核易形成结团

重核的α衰变让人们意识到，核子的结团结构（两个质子和两个中子）可能在衰变之前早已形成。如果需要检验轻核的基态性质，即单核子结合能(BE/A)在具有相同质子数和中子数的偶A核处出现了最大值(例如He, Be, C.....)，(见图1.3）。（图1.3 轻元素的单核子结合能。同一种颜色的线条表示相同的元素。同位素链中单核子结合能为最大值的核素是具有相同质子数和中子数的偶A核。) 更重要的是，这些核素都能看作由α粒子组成。事实上这个结论是在原子核早期的模型的基础上进行扩展得到的，就这一点而言，Hafstad 和Teller的工作是很有创意的。对A=4n(n=2,3,4,...) , N=Z 的核素的结合能进行分析可知，核素的结合能与α粒子的结合方式成线性关係（图1.4），表明α结团在原子核的基态中扮演重要角色。(图1.4 (上图) 结合能与可能的α粒子结合种类的关係。对于⁸Be只有一种结合方式，¹²C有3种，¹⁶O有6种等等。(下图) 已经提出的α粒子分布。)

图1.3 轻元素的单核子结合能

图1.4 (上) 结合能，(下) α粒子分布。

儘管这种图像过于简单，但本质上是正确的，尤其是当结团的衰变阈值（即原子核分开形成结团结构的Q值）位于靠近基态的位置。许多的原子核的基态不存在分割开的α粒子结团结构，而是结合得更加紧密，同时出现结团的重叠（这是由于受泡利不相容原理的影响）。然而，这种对称性在早期的结团图像中的确存在。20世纪50年代，日本的Morinaga提出了一个十分极端的预言，α粒子的分布可能为直线型。这个观点说明基态的结团结构不应该很明显，但是随着原子核内能的增加会出现结团结构。一个原子核出现结团结构是完全允许的。类似地，当原子核分裂成结团的时候，对应产生的能量可由未分裂成结团的核子和形成结团核子的质量差计算得到。由此，核素的结合能在靠近或者低于结团衰变阈值时，结团结构可能十分明显。

关于靠近衰变阈值处的结团态的研究变得非常重要，详细情况可以参见Ikeda图（图1.5）。由图1.5可知，与衰变阈值相同的激发态，更加容易观察到结团结构。因此，双α结团结构能够在Be的基态找到，⁸Be衰变到两个α粒子的时间约为10^-16 秒。3α结团结构可能更加靠近3α衰变阈值，即7.27MeV。众所周知，¹²C的7.65MeV的Hoyle态存在明显的3α结团结构。Brink 使用α结团模型研究类α粒子系统的稳定结构和近似稳定结构。他提出了大量的几何学的或者晶体状的类α粒子原子核的形状结构。儘管这种结构与激发态有关，但是该结论在许多方面与早期的预言是一致的。

图1.5 Ikeda图

Ikeda图表明，结团结构的出现与原子核的激发能关係密切，结团结构多出现在衰变阈值附近。同时对称性有利于结团的形成，这是Hafstad 和Teller预言的关键点。原子核的壳模型能够对原子核的单粒子运动进行很好的描述，该模型假设核子在一个平均场中运动，该平均场表述为，一个核子受到其它所有核子相互作用的平均。然而，壳模型中核子的平均自由程明显大于原子核的尺度。球对称谐振子能够对许多轻核系统进行很好描述，但是在很轻的系统中，形变在原子核的结构中扮演重要角色，核子运动的简单特徵可以通过形变谐振子得到（图1.6），能级由E=hω_⊥n_⊥/(2π)+hω_zn_z/(2π)+16hω₀/π给出。其中，垂直(⊥)和平行(z)于形变轴的振动特徵频率是必须的，相应的约束条件为ω₀=2ω_⊥+ω_z，四极形变为ε=ε₂=(ω_⊥-ω_z)/ω₀（见图1.6）。如果ε为正，这意味着原子核发生长椭形变（类似橄榄球）；当ε为负，原子核发生扁椭形变（类似南瓜）；ε为零时，原子核为球形。

图1.6 形变谐振子的能级

表1.1 与形变有关的结团结构和新幻数的关係

形变为零时，谐振子的解产生一系列简併度（2,6,12,20…）,即原子核中有多少个质子和中子能够占据轨道。当势场是形变的，与振动相关的能级能量沿着形变轴不断减小（振动频率也不断减小），然而垂直于形变轴的能量不断增加。例如，2:1 和3:1的形变时，会出现一系列的能级交错，从而导致一系列的壳能隙。值得一提的是，2:1时的球形简併出现过两次（即2, 2, 6, 6, 12, 12...），3:1时的球形简併出现过三次。使用形变谐振子时。这种对称性表明2:1形变时存在双结团，3:1形变时存在三结团。Rae等用形变的结团结构来理解新的幻数，如表1.1所示。超形变的原子核具有2:1的形变轴势场，巨超形变的原子核具有3:1的形变轴势场。

这种现象不仅能够在简併中观察到，而且能从谐振子模型计算得到的密度分布得到。例如，图1.7中对应的简併模式为2+2, 2+2+2 和2+2+2+2对应的形变比例为2:1, 3:1和4:1。α结团结构在每种情形的密度分布图中都十分明显。儘管这个近似相对简单，但是更複杂的计算表明，原子核结构具有相同的对称性。⁸Be的ab从头计算较好地描述了轻核中的结团结构，该模型中考虑三体力的自由核子-核子相互作用。由核子-核子相互作用力的相关性可得，⁸Be具有α+α结团结构。

图1.7 2:1 、3:1， 4:1形变轴的密度分布图

谐振子是计算原子核结构性质的简单近似，同时透露出潜在的对称性。如果原子核的结构、结合能、激发能的细节能够很好再现，那幺採用更複杂的方法是必须的。更加複杂的方法包括：

（1）反对称分子动力学（AMD）：用有效的核子-核子相互作用的ab从头计算近似；

（2）费米分子动力学（FMD）：用张量相互作用的AMD方法；

（3）共振群方法（RGM）和生成坐标方法(GCM)：统一描述核反应和结构的微观方法(例如)；

（4）Bloch–Brink结团模型：多中心的α结团模型；

（5）局域势结团模型：採用结团中心势的双结团模型；

引人注目的是，所有的模型预言的结团结构种类都十分相似。

前面的结团结构主要在研究α结合核的形式是什幺，即什幺样的核能够分离成α粒子核。有趣的是，当存在额外的价核子（质子或中子），核子系统会出现什幺样的新情景。最典型的价粒子是中子，它可能改变α粒子的核心，这种变化过程与由原子组成的分子中的电子交换过程类似。在原子系统中，电子的共价交换约束两个质子形成氢气分子；在原子核系统中，⁹Be的基态的两个α粒子通过交换中子形成约束。原子核情形的共价轨道的本质与O₂ 的轨道十分相近，其中分子轨道由p轨道的线性组合得到。⁵He中α粒子的两个质子和两个中子填在壳模型的1s_1/2 轨道，另一个中子位于p壳，对应的基态自旋和宇称为3/2^-。图1.8表明，分子轨道的种类可能形成两个⁴He的核心和价中子。（图1.8 Be同位素链的分子轨道的形成。左图中的红色球体表示α粒子的位置，蓝色的哑铃状区域的密度与分子轨道相关。中子轨道平行或垂直于间隔轴。p轨道的线性组合得到π和σ分子轨道(右边两图)。）p轨道的空间对齐方式垂直或者平行于两个α粒子的间隔轴。垂直代表π类分子轨道，平行代表σ类分子轨道。两个α粒子通过交换中子进行约束，这是⁹Be稳定的原因。W. von Oertzen及其同事对原子核的分子结构进行了大量的研究。

图1.8 Be同位素链的分子轨道的形成

图1.9 ^{8}Be和^{9}Be的转动带

这个模型预言 ⁹Be的3/2^-基态对应π类轨道，1/2⁺的低激发态对应 σ类轨道。 ⁹Be的确存在J^π=3/2^- 的基态和1.68 MeV的1/2⁺ 低激发态。形变的分子结构实质表明，⁹Be存在转动行为，结果被实验确认。从转动带能够提取出两种组态的转动惯量，与分子解释一致。实验情景见图1.9。基态的π类转动带用实心圆圈标出。这个带的形变由h²/8π²Θ等于0.525得到，这与⁸Be的双α系统类似h²/8π²Θ等于0.48。与σ 分子轨道相关的转动带存在由Corriolis去耦合引起的巨大效应。然而，实际上h²/8π²Θ得到的值为0.386，这意味着存在一个比π组态更大的转动惯量，可通过σ轨道的本质进行理解，σ轨道位于双α粒子核心之间，会增大双α间距。

类似的结构在其它的双中心繫统中也能找到，例如¹⁰Be和¹¹Be。核子系统的分子行为的很好证据：W. von Oertzen在研究氖同位素链时，发现α粒子的一个核心被¹⁶O结团取代。的确，²⁰Ne (¹⁶O+α)大量的反对称结团结构在²¹Ne和²²Ne的分子轨道行为中扮演着重要角色。大量的反对称结构导致分子谱中的宇称成对出现。α粒子和¹⁶O的分子轨道是杂化轨道，由α粒子周围的p轨道和¹⁶O周围的d轨道混合而成。（图1.10 改进的Ikeda图，图中给出了分子结构和对应的激发能。）图1.10表明改进的Ikeda图表现出多种分子结构，许多在实验上已经观察到。大量不对称的分子结构同样出现在三个α粒子的系统中。例如，¹³C中的三个α粒子线性排列，价中子位于核心α粒子和其它粒子之间，会产生大量的反对称性。 ²⁰Ne的两个转动带具有相同的转动惯量但宇称相反。两个转动带的能级劈裂代表中子隧穿到中心α粒子的几率，对应的分子轨道如图1.11a-c。人们对二聚物到三聚物的扩展分子结构的可能性进行了研究。这里的中子可能在三个α粒子间交换。在两个、三个和四个中心的原子核系统中，由p轨道线性结合形成的可能分子轨道例子见图1.11（图1.11 三个中心(a-c) 和四个中心(d-g) 的分子轨道。这些分子轨道由p态线性组合得到，排成一条线垂直于间隔的轴，并且具有π轨道特徵。能量最低的组态沿水平轴有最少的节点。黑色的点代表α粒子的中心。）。这里中子可能会在N箇中心交换。三个α粒子可能排列成线性或分解成为三角形分布，中子都会在三个中心之间改变位置。¹³C 和¹⁴C这种结构的实验证据十分有限，但是更多的实验数据是有必要的。¹⁶C的最佳情形是线性排列，儘管实验例子非常稀少。

轻核中的结团结构出现在N=Z的核和丰中子核的基态或者激发态。不同的核有多种不同的结团构造，主要有线性链式结构，八极形变，三角形，环状和花朵状。

图1.10 改进的Ikeda图

Wuosmaa等的实验研究激发了人们对奇特的α粒子链式结构的兴趣，该实验¹²C(¹²C,6α) 在Ec.m.= 32.5MeV处观察到了类共振结构。Chevallier等得到了¹⁶O具有4α链式态的实验证据。长期以来，¹²C的态的能量为7.65MeV，人们一直把它当作3α链式结构而称为Hoyle态。人们把该态当做α粒子的玻色-爱因斯坦凝聚，认为所有的α粒子位于质心波函式的相对s态。靠近nα衰变阈值的α粒子态可能是A=4n核素的一般特徵。要想在普通的核反应中得到更长的链式结团是不可能的，但是在高激发的丰中子核物质中是可能的。锕类核的巨超形变也以结团结构的形式讨论，可能具有八极形变结构。³⁶Ar最可能的结团形变态为¹²C + ²⁴Mg 和¹⁶O + ²⁰Ne，均为八极形变的结构。三个核心的核可能形成三角形的结团结构，例如¹⁴C，见图1.12（图1.12 ¹⁴C的三角形结团结构，(a) 具有一个节点的中心价粒子波函式,；(b) 中心价核子波函式具有极大值，，虚线表示三个中心共享两个价中子）。环状的结团具有奇特的密度分布，中心密度不断减小为零，超核中会更加常见。其产生机制可能是：重离子间的高能碰撞可能会导致低密度的快速转动的核子剩余，从而形成粒子旋转环，粒子通过周围的中子结合在一起。Wilkinson使用有效的角动量讨论热核物质的转动，条件是可能遭受到中能重离子的碰撞，这种情况下可能会导致原子核环状结构的出现，由紧挨着的α粒子和介于中间的中子对组成，如图1.13（图1.13 Wilkinson构想的环状结团图，大球代表α粒子，小球代表中子，α粒子被成对的中子束缚）。

图1.11 三中心(a-c) 四中心(d-g) 分子轨道

图1.12 ^{14}C的三角形结团结构

在丰中子碳同位素链中，能够观察到花朵状结构。三个α例子的扁椭形变结构依然存在，加上¹⁴C的三角形形变和额外的中子，能够得到较高阶形变的扁椭密度，即花朵状结团结构，如图1.14，通过质子、中子和总的密度分布图可知中子和质子具有不同的形变。

图1.13 Wilkinson构想的环状结团图

实验上通过非弹性碰撞，碎裂反应和敲出反应得到结团结构的信息。最简单的情形是 ⁸Be具有双α结构。这种类似哑铃的结构导致产生转动带，该转动带的转动惯量(Θ)与2:1的轴对称形变对应。由于α粒子的结合能很大(~28 MeV)，⁶Li和⁷Li分别表现为⁴He+d 和⁴He+t结团结构。¹²C中7.65 MeV的霍伊尔态可能是最着名的结团态。Hoyle在解释宇宙中碳的丰度时，预言这个态的存在，后来通过实验在靠近理论预言的能量位置测到了该态。碳核素在恆星环境中通过3α过程进行合成，首先两个α粒子聚变形成⁸Be，然后在衰变之前俘获第三个α粒子。¹²C主要通过7.65 MeV的0⁺态先衰变到4.43 MeV的2⁺态，然后放射性衰变到基态。具有3α结团结构的这个态与⁴He+⁸Be的衰变阈值十分接近，并且对俘获几率影响很大。由于该态具有极大的半径（体积），所以能够保证α粒子的準自由特性。考虑到⁴He是自旋为零的玻色子，该态可以通过玻色-爱因斯坦凝聚进行理解。理论预言该态存在更重的核素中，例如¹⁶O，甚至是 ⁴⁰Ca，需要实验的进一步检验。20世纪60年，原子核物理的加速器取得巨大进步，人们发展了重离子束流，首先观察到²⁴Mg的¹²C+¹²C结团结构。

图1.14 ^{19-22}C的密度分布

实验中入射粒子的能量和反应截面不断改变。共振态的宽度约为100 keV，表明形成²⁴ Mg中间系统的时间比原子核穿过的时间要长。这些共振态后来被理解为¹²C+¹²C结团态。20世纪60年代，人们对¹²C+¹²C共振态的本质特徵进行了大量的尝试，通过直接过程或间接过程进行了测量。间接法的实验例如¹²C(¹⁶O,²⁴Mg[¹²C+¹²C])⁴He。这里的²⁴Mg在核反应中形成，然后衰变成为两个¹²C核，本质上是¹²C+¹²C散射实验的时间反转。这个方法近似的优点在于能够得到一系列的结团态，而不必花费大量时间去记录束流的能量。使用这个方法能够得到激发能谱的类型，如图1.15所示（图1.15 a) ¹²C(¹⁶O,²⁴Mg^*)碎裂反应中观察到的共振态-来自两个不同的实验，对应的 ¹⁶O束流能量分别为115 MeV和 160 MeV；b) 碎裂共振的能量-自旋对称性。这个结团态位于具有低自旋的20 MeV激发能位置。较小的符号和实线表明²⁴Mg低激发态的趋势。）。激发能谱的峰值对应 ²⁴Mg的共振态，在20到60MeV的激发能範围内可以观察到。²⁴Mg的共振态衰变到¹²C+¹²C末态需要一个大的结团空间。使用实验技术通过测量衰变产物的释放角度，能够推导出²⁴Mg激发态的自旋和角动量J，如图1.15b，水平轴为J(J+1)。自旋为零时，¹²C+¹²C碎裂态位于线性中心，投影到激发能约为20MeV的位置。斜率的梯度明显小于²⁴Mg的基态。对于转动结构，该激发态的能量为E=(h²/8π²Θ)J(J+1)。因此，通过实验数据能够提炼出对应的转动惯量。图1.16表明两个¹²C核相互作用形成²⁴Mg激发态的可能分布，对应的转动惯量与实验结构一致（图1.16 ²⁴Mg的¹²C+¹²C结团结构。这个图像表明α粒子为两个互锁的三角形分布。每一个三角形与¹²C原子核有关。）。实际上，¹²C基态的对称性和扁椭形变表明三个α粒子的三角形分布存在重叠。因此，²⁴Mg的激发态也可能占据六个α粒子组态。类似地，更大尺度的结团结构被认为是²⁸Si(¹²C+¹⁶O) 和³²S(¹⁶O+¹⁶O)，这一点与Ikeda、谐振子的预言一致。除了前面的例子，Ikeda图(图1.5)预言的结团结构还有很多在实验中被观察到。然而，对实验的挑战在于，在比¹²C更重的核中找到Nα 结团结构的证据，例如¹⁶O 和 ²⁰Ne等。这些核素中的结团结构有一些经典的例子， ²⁰Ne的基态就是一个很好的例子。²⁰Ne的性质受α+¹⁶O结团结构的影响巨大，这主要是因为大量的反对称性。因此，通过任何一个单独的正宇称态或负宇称态不足以描述。相反地，正负宇称态的线性组合是必须的。这个转动态与两个转动带有关，其中一个为正宇称，另一个为负宇称。两个转动带的能量劈裂理解为¹⁶O核心两边的α粒子发生隧道效应的几率。这与NH₃中的氨分子占据反对称结构类似。

图1.15

图1.16 ^{24}Mg的12C+12C结团结构

大量的理论模型对原子核的结团进行了研究，包括微观结团模型(共振群方法(RGM)，生成坐标方法(GCM)，正交条件方法(OCM)，随机变分方法(SVM)，分子轨道(MO)模型，反对称分子动力学(AMD)模型)，费米分子动力学(FMD)模型，有效液滴模型(ELDM)，密度依赖的结团模型(DDCM)和协变密度泛函理论。

20世纪60年代的早期，随着共振群方法(RGM)的出现，微观结团模型得到了显着的发展。接下来的二十年里，结团物理的发展受RGM的影响很大，同时出现了一些新的模型，例如生成坐标方法(GCM) 和正交条件方法(OCM) ，可以用于轻的p壳核的研究。这三种方法成为描述结团间相对运动的传统微观模型。方法中最重要的是对结团间泡利原理的处理和结团间相对运动的细节描述。在处理泡利阻塞效应的时候，RGM 和GCM全是微观的，OCM是半微观的。RGM明确给出结团间相对运动波函式的动力学坐标，因为要分开具有反对称性的内部坐标和相对坐标很难，所以少体结团系统在实际套用中有一些限制。

为了将GCM方法用于结团模型研究，Brink採用多中心结团基的波函式，也称Bloch–Brink波函式。Bloch–Brink波函式被写成斯莱特行列式，同时通过结团中心的几何位置进行参数化表示。GCM计算通过Bloch–Brink波函式的叠加进行，对结团中心的位置採用相对距离参数作为生成坐标。原则上，基于Bloch–Brink整个模型空间的GCM方法与RGM等价。微观地讲，使用GCM方法能够用于重核系统和多结团系统的计算。除了两体系统之外的多体系统，Bloch–Brink波函式的模型空间有时被缩短。具有缩短模型空间的GCM方法在描述强耦合图像的态(重叠本徵态的观点)非常有用，这个态描可通过Hartree–Fock框架下的GCM进行描述。另外，RGM与弱耦合图像(基于具有好的宇称和角动量)直接相关。

自从20世纪60年代，由于波函式的有效性，Bloch–Brink α 结团模型被广泛用于α结合系统(Z = N核素)。基于Bloch–Brink α 结团模型，为了研究sd 壳核的激发态，模型空间通常使用一个简单的Bloch–Brink波函式进行缩小，同时进行了一些扩展运算，例如不加约束的三轴计算。另外，推转方法也进行了套用，也进行过投影的变分计算。

人们对不稳定核感兴趣，结团方法被扩展和套用于研究不稳定核的结团结构。其中之一是研究核心周围的价核子性质。为了研究中子晕核，例如⁶He和¹¹Li，通过多个群对核心、价中子进行三体计算取得了巨大的成功。Baye和Descouvemont使用具有两个α粒子和价中子Bloch–Brink波函式的GCM方法研究Be同位素的结团结构。使用随机变分方法(SVM)对不稳定p壳核的多结团系统进行了精确计算。

分子轨道（MO）的结团模型成功描述了丰中子Be同位素链的结团结构。分子轨道模型基于平均场中独立的单粒子轨道图像，该平均场由多中心结团结构形成，Be同位素链的结团结构被描述成由两个α粒子核心和价中子组成。使用包含核子-核子相互作用和反对称性的分子轨道模型对Be和C同位素链进行微观计算。后来，Itagaki使用扩展的分子轨道图像来处理价核子与结团间相对运动的关係。

AMD模型不依赖于结团核心存在的假设。儘管本徵态的模型空间基于斯莱特行列式或几个斯莱特行列式的线性组合，它最大的优点是适用于很大範围内一般核。AMD模型被广泛用于描述远离N=Z线条的核素，这些计算表明丰中子核中的α粒子十分明显。

对比精确描述核子相互作用的多核子系统，前面的结团计算被当做模型，通常採用有效的核力，同时将模型空间缩短。这里我们必须指出，最近在使用採用实际核力的量子蒙特卡罗方法对超越少体系统的多体系统(A)的描述中取得了巨大的进步。计算中同样发现⁸Be具有双α结团结构。因为精确的多体计算需要进行大量的数值计算，关于激发态的计算仍然仅限于轻核()。

为了描述原子核的基态以及低于产生粒子能量区域的重离子反应，H. Feldmeier在1990年提出了费米分子动力学模型(FMD)。FMD的多体试验态是由单粒子高斯波包|q_l(t)>的斯莱特行列式|Q(t)>，其中q_l(t)代表一系列的单粒子参数q_l(t)={,a_l(t),χ_l(t),ξ_l(t)}，=r_l(t)+ia_l(t)包含了平均位置，平均动量和複杂的宽度。自旋自由度通过自旋量|χ_l(t)>表示，

<|q_l(t)>=exp|χ_l> (1.1)

同位旋部分具有时间依赖，能够识别任何一个质子或中子。所有参数的运动方程通过变分原理得到。哈密顿量是有效的，因为核子间的相互作用造成了强烈的短程排斥引起关联，这种关联不能通过试验态|Q(t)>进行描述。而且强烈的张量力引起的自旋关联性，只通过单一的斯莱特行列式表达是不充分的。

FMD模型的基态即能量H(Q^*,Q)=<Q|H|Q>取极小值的点。因为所有的广义力在极小点不存在，该态是静止的，所有。，等参数中不存在费米运动，基态性质例如结合能和均方根半径能够通过一系列的核子-核子相互作用再现。这些有效的核子-核子相互作用对动量依赖不同，但是原子核的本徵结构依赖于相互作用。为了更加精确描述原子核的结构，需要考虑单粒子态和斯莱特行列式的重叠，例如晕核。FMD能够模拟从熔合到耗散、多重碎裂的一系列重离子反应。和含时Hartree-Fock方法不同，这些结果包含了由基态本徵结构得到的初始关联，该关联在模拟碎裂反应时扮演重要角色。

对时间依赖的宽度参数是一个重要的非经典的自由度，特别允许核子蒸发，要不就强烈阻碍，因为每次溢出的波包至少会带走零点能。原子核内部的这个零点能典型值为10 MeV，但是被蒸发的核子仅2 MeV的动能。因此，波包在蒸发的过程中必须传播。使用FMD对时间求平均可以确定热动力学平衡性质。受限制参数设定可能会导致不存在精确解，同时波包的分裂是量子分支的重要来源，该动力学自由度的缺乏会对结团的形成造成强烈阻碍。

为了更好地描述α衰变和结团放射性，M. Gonqalves等提出了有效液滴模型。该模型已用于研究冷裂变反应，同时讨论不同的惯性参数对半衰期和产物的质量产额分布的影响。因为该模型限制最小的碎片释放，因此，该模型能够用于研究质子释放现象。依据有效液滴模型，球形的分子是存在的，为了得到库侖势能和表面势能的解析表达式需要计算总势垒。伽莫夫渗透因子通过两个係数进行计算：Werner-Wheeler惯性係数和有效惯性係数。

在分子相过程中，形变系统的几何构造为两个不同半径的交叉几何球体。为了完整地描述这种结构，我们需要四个独立的坐标，而忽略质心的位置。图1.17是典型的双核衰变系统结构图，选择特定的坐标：每个球面弓形的半径为R₁和R₂；最大的球面弓形顶点为ξ；两个几何中心间距为ζ。在分子相的末期，整个系统会使两个球形的相切碎片解体，对应的碎片和子核的半径分别为和。

图1.17 双核衰变系统的结构图

密度依赖的结团模型能够用于描述α衰变和结团放射性。半衰期通过薛丁格方程的準束缚解得到，许多核的理论结果和实验结果符合得很好，包括N=126壳周围的奇特α释放，α衰变同核异能态和超重核。对于核心和α粒子组成的系统，可以简化成为无结构的α结团围绕核心做轨道运动，它们之间相互作用的势能包括库侖排斥势，核力吸引势以及离心势，表达式为：

(1.2)

其中，μ是α核心繫统的折合质量，是α结团的角动量。使用双摺叠模型去构建库侖势和核力势。核力势通过密西根三程汤川秀树-里德类的有效核子-核子相互作用得到，包括密度和能量依赖项。库侖势仍然使用双摺叠模型，只是将原子核的密度分布改成电荷密度分布。势场的密度具体如下：

λ (1.3)

其中λ用于重整化核势去再现等价的局域势(λ=1是库侖势)，s是α粒子和核心原子核的相对距离，是有效的核子-核子相互作用，和分别是α粒子和核心原子核的密度分布。双摺叠的坐标矢量如图1.18所示（图1.18 中心核和α粒子系统在双摺叠模型中的坐标矢量示意图）。

α 结团的球形密度分布採用高斯分布的形式：

(1.4)

中心核子的密度分布来自于实验上已知的电荷分布，¹⁶O,⁴⁰Ca, ⁹⁰Zr和²⁰⁸Pb的中心核密度分别为：

对于¹⁶O和⁴⁰Ca：(1.5)

对于⁹⁰Zr：(1.6)

对于²⁰⁸Pb：(1.7)

α粒子相对于中心核的相对运动，可以用静态薛丁格方程表达，形式为 :

(1.8)

精确求解上述方程可以得到α结团的信息。

关于核结构的研究使用最广泛的方法是协变密度泛函理论。原子核能量密度泛函理论的实质类似于Kohn-Sham密度泛函理论，后者广泛用于凝聚态物理和量子化学中的电子结构计算。在原子核物理中，多体动力学表现为独立的核子在局部自洽的平均势场中运动，可以得出相应的密度和流。

相对论和非相对论的能量密度泛函理论用于描述核物质和有限核，给定核子相互作用的原子核能量密度泛函理论具有普适性，对于所有的系统具有相同的形式。通过使用同类核物质的实验性质和有限核的实验数据，只需要调节少量的参数，一个普遍的泛函形式就可用于描述所有的核子，因此可以描述轻核的结团性质。

P.Arumugam等使用无对关联的相对论平均场理论对轻核区的部分核素进行研究，得到了基态和激发态的多种结团结构。法国的J. P. Ebran等使用能量密度泛函的框架，对原子核的结团和量子液滴进行了研究，结果表明势阱的深度决定了两个单粒子轨道之间的能量空隙，从而使波函式局域化，相应的核子结团的密度分布更加狭窄，结团结构更加明显。张炜等人使用绝热近似和非绝热近似下的相对论平均场理论，研究²⁴Mg的势能曲面，同时分析密度分布得到可能的环状态，结果表明²⁴Mg的环状态多倾向于极端扁椭情形，并且取最小环状的激发能为，四极形变为。耿立升等使用反射不对称的相对论平均场理论对²²⁶Ra的八极形变的结团结构进行研究，与实验结果吻合得很好。我们组使用介子交换和点耦合的协变密度泛函理论对Be的同位素链的结团结构进行了研究，表明^8,10,14Be具有明显的双α结团结构。