行列式依行展开(expansion of a determinant by a row)是计算行列式的一种方法，设ai1，ai2，…，ain (1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的套用。
基本介绍
- 中文名：行列式依行展开
- 外文名：expansion of a determinant by a row
- 所属学科：数学
- 所属问题：高等代数(行列式)
- 简介：计算行列式的一种方法
基本介绍
设ai1，ai2，…，ain(1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。
例如，在一个三阶行列式D中，划去元素aij(i=1, 2,3; j=1, 2,3)所在的第i行和第j列的所有元素，剩下的元素按照它原有的位置得到的一个二阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij。而将(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式，记作Aij，即Aij=(-1)i+jMij。例如
D= ai1Ai1+ ai2Ai2 + ai3Ai3 ( i=1,2,3 )， (1)
D= a1jA1j+ a2jA2j + a3jA3j( j=1,2,3 )， (1')
我们把类似(1)式的展开称为行列式的依行展开式，把(1')式称为行列式的依列展开式。
相关定理
定理1（行列式依行展开定理） n（n>1）阶行列式D=|aij|等于它任意一行的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和，即
定理2如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零。因此有
【例1】 设
依第二行展开，并求D的值。
解：
说明 直接利用行列式依行展开公式计算并不简便，因此，在实行计算中，经常是先利用性质化简，再依行展开，即把某一行通过变换，化出较多的0来，再降阶计算。