书名：高等数学（下册）

ISBN：9787302166214

作者：吴纪桃、柳重堪、李翠萍等

定价：28元

出版日期：2008-2-1

出版社：清华大学出版社

本书分上、下两册．上册内容包含函式与极限、导数与微分、导数的套用、不定积分、定积分、定积分的套用和空间解析几何与向量代数； 下册内容包含多元函式微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、级数和常微分方程．

本书内容经过精细筛选，重点突出，层次分明，叙述清楚，深入浅出，简明易懂．全书例题丰富，每节之后均配有适当数量的习题，书末附有习题答案与提示，便于教师教学，也便于学生自学．

本书可供高等学校理工科非数学专业的本科生作为教材使用．

2003年北京航空航天大学高等数学课程获得北京市精品课程建设立项,由此，我们的课程建设和改革工作进入了一个新的阶段。课程组认真总结了数十年来在教学理念、教学内容、教学方法和教学手段方面的认识、方法、经验和教训，对课程再次进行了新的定位和规划。作为总结、继承、改革和发展的一个重要标誌，我们组织编写了这套高等数学教材和习题集，以适应新形势、新目标下对数学的要求，更好地为后续课程提供必要的基础理论和知识準备，进一步为培养学生的创新意识和创新能力服务，从中体现“强化基础，突出实践，重在素质，面向创新”的本科生人才培养方针的精神。

与传统的高等数学教材相比，本教材有以下特点：

1. 把概念和定理的引出、建立与证明儘可能处理成一个“发现”的过程。这种处理方法将有利于学生创新意识和能力的培养。

2. 进一步强调一些重要的定义、定理和公式的物理或几何内涵。不但强调它们在数学上的作用，更要强调它们在物理或几何上的解释。这样做能使非数学专业的理工科学生认识到数学作为一种自然科学语言时所具有的精确描述能力，从而激发学习数学的兴趣。

3. 在推导公式和套用公式来解决实际问题时採用数学建模的方法和观点。即强调“分析实际问题(抽象简化)——建立数学模型(化成数学问题)——获得数学解(套用公式和算法)——解释实际问题(讨论解的合理性)”的解题过程。例如介绍了为什幺电子设备中常用二进制，在定积分的套用一章中，每一个例题都重複数学建模的过程。这样做将有利于提高学生对数学的套用意识和套用能力。

4. 通过全书内容不断强调一些重要的数学思想。比如，在微分学中的“局部以直代曲”，在积分学中的“化整为零——局部以直代曲——积零为整”，泰勒公式和函式展成级数中的“以简单表示複杂”、“近似与估计”，求解非线性方程中的“叠代与逼近”等思想方法。这样做将有利于学生通过学习高等数学受到数学思想方法的薰陶，使思维品质得到提升。

5. 适当加强了一些典型素材的论述。例如对泰勒公式的理解和套用，增加了一些利用泰勒公式研究函式特性和求极限的例题和习题，这是因为泰勒公式能极大程度地揭示可导函式的本质。再如补充了关于凸函式的一些内容，这是因为凸函式是属性被研究得较为透彻的一类函式。

6. 本书的例题和习题在难度上跨度较大，这有利于训练学生的解题方法和技巧，有利于提高学生的计算和推理能力。

本教材第1，2，3章由柳重堪教授执笔，第4，5，6，7章由吴纪桃教授执笔，第8，12章由魏光美副教授执笔,第9，10，11章由李翠萍教授执笔，全书由吴纪桃教授统稿。

虽然本书的每一位编者主讲本课程的教龄都在20年以上，但是不妥和错误之处在所难免，真诚地希望有关专家、读者给予批评指正，以便再版时修改。

作者

2007年5月于北航

第8章多元函式微分学

8.1多元函式的极限与连续

8.1.1多元函式的概念

8.1.2平麵点集的一些概念

8.1.3多元函式的极限

8.1.4多元函式的连续性

习题8.1

8.2偏导数

8.2.1偏导数的定义与计算

8.2.2高阶偏导数

习题8.2

8.3全微分

8.3.1全微分的定义与计算

8.3.2全微分在近似计算中的套用

习题8.3

8.4多元複合函式微分法

8.4.1多元複合函式的链式法则

8.4.2全微分形式不变性

习题8.4

8.5隐函式微分法

8.5.1一个方程的情形

8.5.2方程组的情形

习题8.5

8.6微分法在几何上的套用

8.6.1空间曲线的切线与法平面

8.6.2曲面的切平面与法线

习题8.6

8.7方嚮导数与梯度

8.7.1方嚮导数

8.7.2梯度

习题8.7

8.8多元函式的极值

8.8.1极值存在的必要条件与充分条件

8.8.2最大值与最小值问题

8.8.3条件极值

习题8.8

8.9二元函式的泰勒公式

8.9.1二元函式的泰勒公式

8.9.2二元函式极值充分条件的证明

习题8.9

8.10最小二乘法

习题8.10

第9章重积分

9.1二重积分的定义及简单性质

9.1.1曲顶柱体体积的计算

9.1.2平面薄片质量的问题

9.1.3二重积分的定义

9.1.4二重积分的简单性质

习题9.1

9.2二重积分的计算

习题9.2

9.3二重积分的换元法

9.3.1一般换元公式

9.3.2二重积分在极坐标系下的计算

习题9.3

9.4二重积分的套用

9.4.1二重积分的微元法

9.4.2曲面的面积

9.4.3平面薄片的重心

9.4.4平面薄片的转动惯量

9.4.5平面薄片对质点的引力

习题9.4

9.5三重积分的概念与计算

9.5.1三重积分的定义

9.5.2利用直角坐标计算三重积分

习题9.5

9.6利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

9.6.1三重积分的换元法

9.6.2利用柱面坐标计算三重积分

9.6.2利用球面坐标计算三重积分

习题9.6

第10章曲线积分与曲面积分

10.1对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

10.1.1曲线形物体的质量

10.1.2对弧长的曲线积分的定义

10.1.3对弧长的曲线积分的性质

10.1.4对弧长的曲线积分的计算

10.1.5对弧长的曲线积分的几何套用与物理套用

习题10.1

10.2对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

10.2.1变力沿曲线所做的功

10.2.2对坐标的曲线积分的定义

10.2.3对坐标的曲线积分的性质

10.2.4对坐标的曲线积分的计算

10.2.5两类曲线积分之间的关係

习题10.2

10.3格林公式

10.3.1平面区域的分类与平面区域边界的定向

10.3.2格林公式

10.3.3格林公式的套用

10.3.4曲线积分与路径无关问题

10.3.5曲线积分与路径无关的条件

10.3.6二元函式的全微分求积

习题10.3

10.4对面积的曲面积分（第一类曲面积分）

10.4.1曲面形物体的质量

10.4.2对面积的曲面积分的定义

10.4.3对面积的曲面积分的计算

习题10.4

10.5对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）

10.5.1流量问题

10.5.2有向曲面及其在坐标面上的投影

10.5.3对坐标的曲面积分的定义

10.5.4对坐标的曲面积分的计算

10.5.5两类曲面积分之间的关係

习题10.5

10.6高斯公式通量与散度

10.6.1高斯公式

10.6.2高斯公式的套用

10.6.3高斯公式的物理意义通量与散度

习题10.6

10.7斯托克斯公式环流量与旋度

10.7.1斯托克斯公式

10.7.2斯托克斯公式的简单套用

10.7.3环流量与旋度

习题10.7

第11章级数

11.1常数项级数的概念和性质

11.1.1常数项级数的定义及收敛性概念

11.1.2常数项级数的基本性质

11.1.3级数收敛的必要条件

习题11.1

11.2正项级数的敛散性判别

11.2.1比较判别法

11.2.2积分判别法

11.2.3比较判别法的极限形式

11.2.4比值判别法

11.2.5根值判别法

习题11.2

11.3绝对收敛与条件收敛

习题11.3

11.4幂级数

11.4.1函式项级数的一般概念

11.4.2幂级数及其收敛性

11.4.3幂级数的运算及和函式的性质

习题11.4

11.5函式展开成幂级数

11.5.1函式展开成幂级数的条件

11.5.2函式展开成幂级数

11.5.3函式的幂级数展开式的套用

习题11.5

11.6傅立叶级数

11.6.1三角级数三角函式系的正交性

11.6.2函式展开成傅立叶级数

11.6.3正弦级数和余弦级数

11.6.4周期为2l的周期函式的傅立叶级数

11.6.5傅立叶级数的複数形式

习题11.6

第12章常微分方程

12.1基本概念

12.1.1实例

12.1.2基本概念

习题12.1

12.2变数可分离方程与齐次方程

12.2.1变数可分离方程

12.2.2齐次方程

习题12.2

12.3一阶线性微分方程

12.3.1一阶线性微分方程与常数变易法

12.3.2伯努利方程

习题12.3

12.4全微分方程

12.4.1全微分方程

12.4.2一阶微分方程综合例题

习题12.4

12.5可降阶的高阶微分方程

习题12.5

12.6高阶线性微分方程

习题12.6

12.7常係数齐次线性微分方程

习题12.7

12.8常係数非齐次线性微分方程

习题12.8

12.9变係数线性方程

12.9.1常数变易法

12.9.2欧拉方程

习题12.9

12.10微分方程的幂级数解法

习题12.10

12.11常係数线性微分方程组

习题12.11

12.12常微分方程套用举例

习题12.12

12.13常微分方程初值问题的数值解法

习题12.13

习题参考答案与提示