本书分为上、下两册.下册内容包括:微分方程，向量代数与空间解析几何，多元函式微分法及其套用，重积分和曲线积分，无穷级数共5章.
全书弱化了定理证明，在例题及习题的选取上突出了套用性，强化了高等数学课程与后续专业课程的联繫，便于教学和自学.本书可作为普通高等学校（少学时）、独立学院、成教学院、民办学院本科非数学专业的教材.本书还突出了高等数学在经济中的套用，经济类本科院校同样适用.

高等数学课程是高等学校的一门重要基础课程，它提供了各专业后续学习所必需的大学数学知识，更是工程技术人员必须掌握的一门重要基础课程.当今社会，数学的思想、理论与方法已被广泛地套用于自然科学、工程技术、企业管理甚至人文学科之中，“数学是高新技术的本质”这一说法，已被人们所接受.

为了适应高等教育的发展，根据国家教委对培养套用型本科人才的要求，重庆大学城市科技学院本着“以套用为目的，以必需够用为度”的原则，对课程内容体系进行了整体最佳化，强化了高等数学与专业课程的联繫，使之更侧重于培养学生的套用能力，以适应培养套用型本科人才的培养目标.学院组织了具有丰富教学经验的一线教师编写讲义并试用，这就是本书的雏形.在汲取国内外各种版本同类教材优点的基础上，编者还将教学实践中积累的一些有益的经验融入了其中，并在教材中加入了一定数量的提高题，来满足部分考研学生的需要.

本书由代鸿和孔昭毅担任主编.第7章由赵润峰编写；第8章由代鸿和党庆一共同编写；第9章由代鸿编写；第10章由孔昭毅编写；第11章由党庆一编写.全书由重庆大学易正俊审定，何传江、王新质、王晓宏、张心明等老师也给予了宝贵的意见，在此一併致谢.

由于编者水平有限，书中缺点和错误在所难免，恳请广大同行、读者批评指正.

编者

2014年11月

第7章微分方程1

7.1微分方程的基本概念1

7.1.1引例1

7.1.2微分方程定义2

习题715

7.2可分离变数微分方程5

7.2.1可分离变数微分方程定义及解法5

7.2.2可分离变数微分方程的套用6

习题729

7.3齐次型微分方程9

7.3.1齐次型微分方程定义及解法9

7.3.2可化为齐次型微分方程12

习题7314

7.4一阶线性微分方程14

7.4.1一阶线性微分方程的定义14

7.4.2一阶非齐次线性微分方程的解法15

7.4.3伯努利方程18

习题7420

7.5可降阶高阶微分方程21

7.5.1y″=f(x)型21

7.5.2y″=f(x，y′)型22

7.5.3y″=f(y，y′)型23

习题7526

7.6高阶线性微分方程26

7.6.1二阶齐次线性微分方程解的结构27

7.6.2二阶非齐次线性微分方程解的结构28

习题7629高等数学

（下 册）目录

[1][2]7.7二阶常係数齐次线性微分方程30

习题7733

7.8二阶常係数非齐次线性微分方程34

7.8.1f(x)=Pm(x)eλx型34

7.8.2f(x)=eλx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型37

习题7838

总複习题七39

第8章向量代数与空间解析几何41

8.1向量及其线性运算41

8.1.1向量的概念41

8.1.2向量的线性运算42

8.1.3向量的坐标表示43

习题8146

8.2数量积和向量积46

8.2.1两向量的数量积46

8.2.2两向量的向量积47

习题8249

8.3平面及其方程49

8.3.1平面的点法式方程49

8.3.2平面的一般式方程50

8.3.3两平面的位置关係52

8.3.4点到平面的距离53

习题8354

8.4空间直线及其方程54

8.4.1空间直线的点向式方程及参数方程54

8.4.2空间直线的一般式方程56

8.4.3两直线的位置关係58

8.4.4直线与平面的位置关係58

8.4.5平面束59

习题8460

8.5曲面及其方程61

8.5.1曲面方程的概念61

8.5.2简单曲面61

8.5.3常见的二次曲面64

习题8566

8.6空间曲线及其方程66

8.6.1空间曲线的一般式方程66

8.6.2空间曲线的参数方程67

8.6.3空间曲线在坐标面上的投影67

习题8668

总複习题八69

第9章多元函式微分法及其套用71

9.1多元函式的基本概念71

9.1.1平麵点集71

9.1.2n维空间73

9.1.3多元函式的概念73

9.1.4多元函式的极限75

9.1.5多元函式的连续性77

9.1.6多元函式在有界闭区域上的连续性79

习题9180

9.2偏导数80

9.2.1偏导数的定义及其计算方法80

9.2.2偏导数的几何意义83

9.2.3偏导数与连续之间的关係83

9.2.4高阶偏导数84

习题9285

9.3全微分86

9.3.1全微分的定义86

9.3.2可微的条件87

9.3.3全微分在近似计算中的套用90

习题9391

9.4多元複合函式的求导法则91

9.4.1多元複合函式求导91

9.4.2多元複合函式的高阶导数94

9.4.3全微分形式不变性95

习题9496

9.5隐函式求导法97

9.5.1一个方程F(x,y)=0的情形97

9.5.2一个方程F(x,y,z)=0的情形98

9.5.3方程组的情形99

习题95101

9.6多元函式的极值及其求法101

9.6.1多元函式的极值102

9.6.2多元函式的最值104

9.6.3条件极值105

习题96109

9.7多元函式微分学的几何套用109

9.7.1空间曲线的切线与法平面109

9.7.2曲面的切平面与法线112

9.7.3全微分的几何意义114

习题97115

总複习题九116

第10章重积分和曲线积分117

10.1二重积分的概念与性质117

10.1.1二重积分概念的背景117

10.1.2二重积分的概念119

10.1.3二重积分的性质120

习题101122

10.2二重积分的计算法123

10.2.1利用直角坐标计算二重积分123

10.2.2利用极坐标计算二重积分128

习题102133

10.3二重积分的套用135

10.3.1曲面的面积135

10.3.2质心138

10.3.3转动惯量139

习题103140

10.4三重积分140

10.4.1三重积分概念的背景140

10.4.2三重积分的概念141

10.4.3三重积分的计算141

习题104147

10.5对弧长的曲线积分148

10.5.1对弧长的曲线积分概念的背景148

10.5.2对弧长的曲线积分的概念与性质148

10.5.3对弧长的曲线积分的计算法149

习题105152

10.6对坐标的曲线积分152

10.6.1对弧长的曲线积分概念的背景152

10.6.2对弧长的曲线积分的概念与性质153

10.6.3对弧长的曲线积分的计算法155

10.6.4两类曲线积分之间的关係159

习题106160

10.7格林公式及其套用162

10.7.1格林公式162

10.7.2平面上曲线积分与路径无关的条件164

习题107167

总複习题十168

第11章无穷级数171

11.1常数项级数171

11.1.1常数项级数的基本概念171

11.1.2无穷级数的基本性质174

习题111176

11.2正项级数176

习题112183

11.3一般项级数184

11.3.1交错级数及其审敛法184

11.3.2绝对收敛与条件收敛185

习题113187

11.4幂级数188

11.4.1函式项级数的基本概念188

11.4.2幂级数的概念189

11.4.3幂级数的性质194

11.4.4幂级数的运算196

习题114196

11.5函式展开成幂级数197

11.5.1泰勒级数197

11.5.2函式展开成幂级数的方法198

11.5.3函式的幂级数展开式的套用201

习题115203

11.6傅立叶级数204

11.6.1三角级数204

11.6.2以2π为周期的函式的傅立叶级数205

11.6.3以2l为周期的函式的傅立叶级数210

习题116212

总複习题十一213

附录C二阶和三阶行列式简介216

附录D空间坐标系简介219

习题答案与提示227第1章函式的极限与连续1

1.1函式1

1.1.1基本概念1

1.1.2函式3

1.1.3初等函式8

习题119

1.2数列的极限10

1.2.1数列的概念10

1.2.2数列的极限11

1.2.3收敛数列的性质14

习题1217

1.3函式的极限18

1.3.1当自变数趋于无穷大时函式的极限18

1.3.2自变数趋于有限值时函式的极限20

1.3.3函式极限的性质24

习题1325

1.4无穷小与无穷大26

1.4.1无穷小26

1.4.2无穷大28

习题1430

1.5极限运算法则31

1.5.1极限的四则运算法则31

1.5.2複合函式的极限运算法则35

习题1536

1.6两个重要极限37

1.6.1limx→0sinxx=137高等数学

（上 册）目录

[1][2]1.6.2limx→∞1+1xx=e39

习题1642

1.7无穷小的比较43

习题1746

1.8函式的连续与间断46

1.8.1函式的连续性46

1.8.2连续函式与连续区间48

1.8.3函式的间断点50

习题1852

1.9连续函式的运算和性质53

1.9.1连续函式的运算53

1.9.2初等函式的连续性54

1.9.3闭区间上连续函式的性质57

习题1959

总複习题一60

第2章导数与微分63

2.1导数的概念63

2.1.1引例63

2.1.2导数的定义64

2.1.3可导与连续的关係68

习题2170

2.2函式的求导法则70

2.2.1四则运算的求导法则70

2.2.2反函式的求导法则73

2.2.3複合函式的求导法则74

2.2.4基本求导法则与导数公式77

习题2278

2.3高阶导数80

2.3.1高阶导数的定义80

2.3.2高阶导数的运算法则82

习题2383

2.4隐函式和参数方程确定的函式导数及相关变化率84

2.4.1隐函式的导数84

2.4.2对数求导法则85

2.4.3由参数方程确定的函式的导数86

2.4.4相关变化率88

习题2488

2.5导数的简单套用89

2.5.1几何套用89

2.5.2经济套用91

2.5.3物理套用93

习题2594

2.6函式的微分94

2.6.1微分的定义94

2.6.2微分的几何意义96

2.6.3基本初等函式的微分公式与微分运算法则97

2.6.4微分在近似计算中的套用99

习题26100

总複习题二101

第3章微分中值定理与导数的套用103

3.1微分中值定理103

3.1.1罗尔定理103

3.1.2拉格朗日中值定理105

3.1.3柯西中值定理108

习题31110

3.2洛必达法则111

3.2.100型未定式111

3.2.2∞∞型未定式113

3.2.3其他未定式的极限115

习题32116

3.3泰勒公式117

3.3.1带有皮亚诺型余项的泰勒公式118

3.3.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式120

3.3.3麦克劳林公式120

习题33123

3.4函式的单调性与曲线的凹凸性123

3.4.1函式单调性的判别法123

3.4.2曲线的凹凸性与拐点127

习题34130

3.5函式的极值与最值131

3.5.1函式的极值及其求法131

3.5.2函式的最值135

习题35138

3.6函式图形的描绘139

3.6.1曲线的渐近线139

3.6.2函式图形的描绘141

习题36143

3.7曲率143

3.7.1弧微分143

3.7.2曲率及其计算公式145

3.7.3曲率圆与曲率半径147

习题37148

总複习题三148

第4章不定积分150

4.1不定积分的概念与性质150

4.1.1原函式的概念150

4.1.2不定积分的概念151

4.1.3不定积分的几何意义152

4.1.4不定积分的性质153

4.1.5基本积分表153

4.1.6直接积分法154

习题41156

4.2第一类换元积分法156

习题42164

4.3第二类换元积分法165

习题43171

4.4分部积分法171

习题44176

4.5几种特殊类型函式的积分176

4.5.1有理函式的积分176

4.5.2三角函式有理式的积分180

习题45182

总複习题四182

第5章定积分184

5.1定积分的概念与性质184

5.1.1引例184

5.1.2定积分的概念186

5.1.3定积分的近似计算189

5.1.4定积分的性质190

习题51195

5.2微积分基本公式196

5.2.1引例196

5.2.2变限积分函式及其导数197

5.2.3微积分基本公式200

习题52203

5.3定积分的换元法和分部积分法204

5.3.1定积分的换元积分法204

5.3.2定积分的分部积分法207

习题53209

5.4反常积分210

5.4.1无穷限的反常积分211

5.4.2无界函式的反常积分213

习题54216

总複习题五216

第6章定积分的套用219

6.1定积分的元素法219

6.2定积分在几何上的套用221

6.2.1平面图形的面积221

6.2.2体积223

6.2.3平面曲线的弧长226

习题62229

6.3定积分在物理上的套用230

6.3.1变力沿直线运动所做的功230

6.3.2水压力231

6.3.3引力233

习题63234

6.4定积分在经济学上的套用235

习题64237

总複习题六237

附录A预备知识239

附录B积分表公式244习题答案与提示254

第1章函式、极限与连续11.1函式1

1.1.1函式的概念1

1.1.2反函式3

1.1.3初等函式6

1.1.4常用的经济函式6

1.1.5函式建模的实例8

习题1.111

1.2极限的概念12

1.2.1数列的极限12

1.2.2函式的极限13

1.2.3极限的性质16

1.2.4无穷大量与无穷小量16

习题1.218

1.3极限的运算18

1.3.1极限的四则运算法则18

1.3.2两个重要极限20

1.3.3无穷小的比较22

习题1.324

1.4函式的连续性25

1.4.1函式连续的概念25

1.4.2连续函式的运算与性质27

思考题28

习题1.428

数学实验1用MATLAB求函式的极限29

综合练习131套用高等数学

（上 册）目录

[1][2]第2章导数与微分34

2.1导数34

2.1.1问题的引入34

2.1.2导数的概念35

2.1.3求简单函式的导数36

习题2.138

2.2求导法则38

2.2.1导数的四则运算法则38

2.2.2反函式的求导法则39

2.2.3基本初等函式的求导公式40

2.2.4複合函式的求导法则41

2.2.5隐函式和参量函式的求导法则42

2.2.6高阶导数44

习题2.245

2.3微分及其套用46

2.3.1微分的概念 47

2.3.2微分基本公式与运算法则48

2.3.3微分在近似计算中的套用50

习题2.351

数学实验2用MATLAB求导数51

综合练习253

第3章导数的套用56

3.1微分中值定理56

3.1.1罗尔中值定理56

3.1.2拉格朗日中值定理57

3.1.3柯西中值定理58

习题3.158

3.2洛必达法则58

3.2.100型、∞∞型不定式的洛必达法则59

3.2.2其他类型不定式极限的求法60

习题3.262

3.3函式的单调性与极值62

3.3.1函式的单调性62

3.3.2函式的极值及其求法64

3.3.3函式的最大值与最小值67

习题3.368

3.4曲线的凹凸与拐点69

3.4.1曲线凹凸的定义69

3.4.2曲线凹凸性的判定定理69

习题3.471

3.5函式的渐近性质及其图像71

3.5.1曲线的渐近线71

3.5.2函式图像的描绘72

习题3.574

3.6导数在经济中的套用74

3.6.1边际与边际函式74

3.6.2弹性与弹性分析75

习题3.677

数学实验3用MATLAB解决导数套用题77

综合练习379

第4章积分及其套用82

4.1不定积分的概念和基本公式82

4.1.1不定积分的概念82

4.1.2基本积分公式84

4.1.3不定积分的性质和运算法则85

4.1.4直接积分法86

习题4.186

4.2换元积分法87

4.2.1第一类换元积分法(凑微分法)87

4.2.2第二类换元积分法 90

习题4.293

4.3分部积分法94

习题4.396

4.4定积分的概念与性质97

4.4.1引例97

4.4.2定积分的概念98

4.4.3定积分的性质100

习题4.4101

4.5牛顿莱布尼茨公式102

4.5.1积分上限函式102

4.5.2牛顿莱布尼茨公式103

习题4.5105

4.6定积分的计算105

4.6.1定积分的换元积分法105

4.6.2定积分的分部积分法107

习题4.6108

4.7无穷区间上的广义积分109

习题4.7111

4.8定积分的套用案例111

4.8.1定积分的微元法111

4.8.2定积分在几何上的套用112

4.8.3定积分在物理和工程技术上的套用115

4.8.4定积分在经济上的套用115

习题4.8116

数学实验4用MATLAB求不定积分117

数学实验5用MATLAB求定积分118

综合练习4119

第5章二元函式微积分简介122

5.1二元函式的极限与连续122

5.1.1二元函式的概念122

5.1.2二元函式的极限124

5.1.3二元函式的连续125

习题5.1126

5.2偏导数和全微分126

5.2.1二元函式的偏导数126

5.2.2全微分130

习题5.2132

5.3複合函式与隐函式的偏导数132

5.3.1複合函式的偏导数132

5.3.2隐函式的偏导数134

习题5.3135

5.4二元函式的极值与最值136

5.4.1二元函式的极值136

5.4.2二元函式的最值137

5.4.3条件极值与拉格朗日乘数法139

习题5.4140

5.5二重积分140

5.5.1二重积分的概念141

5.5.2二重积分的性质142

5.5.3二重积分的计算143

习题5.5149

数学实验6用MATLAB计算重积分150

综合练习5150

第6章常微分方程154

6.1常微分方程的基本概念154

6.1.1实例154

6.1.2微分方程的有关概念155

习题6.1156

6.2一阶微分方程156

6.2.1dydx=f(x)g(y)型微分方程157

6.2.2dydx=fyx型微分方程157

6.2.3dydx+P(x)y=Q(x)型微分方程158

习题6.2162

6.3可降阶的高阶微分方程162

6.3.1y(n)=f(x) 型的微分方程162

6.3.2y″=f(x,y′)型的微分方程163

6.3.3y″=f(y,y′)型的微分方程163

习题6.3164

6.4二阶常係数线性齐次微分方程165

6.4.1二阶常係数线性齐次微分方程解的性质165

6.4.2二阶常係数线性齐次微分方程通解的求法166

习题6.4168

6.5常微分方程套用案例168

习题6.5170

数学实验7用MATLAB解常微分方程170

综合练习6172

参考答案175

附表基本初等函式188