黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函式的二阶偏导数构成的方阵，描述了函式的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决最佳化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函式的极值问题。在工程实际问题的最佳化设计中，所列的目标函式往往很複杂，为了使问题简化，常常将目标函式在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函式，此时函式在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。
基本介绍
- 中文名：黑塞矩阵
- 外文名：Hessian Matrix
- 别名：海森矩阵，二阶导数矩阵
- 提出时间：19世纪
- 提出者：德国数学家Ludwig Otto Hesse
- 特点：黑塞矩阵为对称阵
- 套用学科：线性代数、运筹学
定义
在工程实际问题的最佳化设计中，所列的目标函式往往很複杂，为了使问题简化，常常将目标函式在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函式。
二元函式的黑塞矩阵
由高等数学知识可知，若一元函式
在
点的某个邻域内具有任意阶导数，则
在
点处的泰勒展开式为：
，其中
，
。
二元函式
在
点处的泰勒展开式为：
其中，
。
将上述展开式写成矩阵形式，则有：
即：
其中：
多元函式的黑塞矩阵
将二元函式的泰勒展开式推广到多元函式，则
在 点处的泰勒展开式的矩阵形式为：
其中：
（1）
，它是
在 点处的梯度。
（2）
为函式 在 点处的黑塞矩阵。
黑塞矩阵是由目标函式
在点X处的二阶偏导数组成的
阶对称矩阵。
对称性
如果函式
在
区域内二阶连续可导，那幺 黑塞矩阵
在 内为对称矩阵。
原因：如果函式 的二阶偏导数连续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即
利用黑塞矩阵判定多元函式的极值
定理
设n多元实函式 在点
的邻域内有二阶连续偏导，若有：
并且
则有如下结果：
（1）当A正定矩阵时， 在 处是极小值；
（2）当A负定矩阵时， 在 处是极大值；
（3）当A不定矩阵时， 不是极值点。
（4）当A为半正定矩阵或半负定矩阵时， 是“可疑”极值点，尚需要利用其他方法来判定。
实例
求三元函式
的极值。
解：因为
，故该三元函式的驻点是
。
又因为
，
故有：
因为A是正定矩阵，故是极小值点，且极小值
。