相对内部(relative interior)是指拓扑线性空间中的集合在相对意义下的内部。设A是拓扑线性空间X的子集，A相对其闭仿射包的内部称为A的相对内部。这个概念在拓扑线性空间理论中不太用，但是在凸集分离定理的叙述中，它起重要作用。
基本介绍
- 中文名：相对内部
- 外文名：relative interior
- 所属学科：数学
- 相关概念：凸集分离定理，仿射包等
定义
有些凸集的内部是空的，然而把它作为其仿射包的子集考虑时，内部却是不空的。例如，设
，其中
，在
中，
。然而在仿射包
中考虑时，C的内部是不空的，因此引入凸集的相对内部的概念。
相对内部：设E为线性拓扑空间，
为凸集，把C看作它的仿射包的子集时C的内部称为C的相对内部(relative interior)，记为
。
相对边界：设E为线性拓扑空间，为凸集，把C看作它的仿射包的子集时，C的边界称为C的相对边界；记为
。
对于前面提到的凸集，它的相对内部与相对边界分别是：
相关性质定理
关于凸集C的相对内部与相对边界有以下性质。
性质1设
，若C为凸集，而且
，则
性质2设，若C为凸集，则
1.是凸集;
2.
。
性质3设，若C为有界凸集，则
性质4设
，
均为凸集，而且
，则
定理1 设是凸集。
1. 若
，则
；
2.
。
定理2 设是凸集，
，则，
1.
；
2. 
；
3.
；
4.
。
定理3 设为非空凸集，
，则。
定理4 设为非空凸集，则点
的充分必要条件是：
存在
，使
定理5 设
均为非空凸集，
，则
1. 
；
2.
。
定理6 设为非空凸集，
为由
到
的线性映射，则
1.
；
2.
。
定理7 设为凸集，且
，则，
1.
；
2. 
。