光滑概形(smooth scheme)是光滑代数簇概念的推广。设X是域k上的有限型概形，若k'是k的代数闭包，X的基扩张X_k-是正则概形，则称X是光滑概形。当k是完全域时，正则k概形与光滑k概形是一致的。仿射k空间A_k和射影k空间P_k都是光滑k概形的例子。若概形X是在仿射k空间A_k内由方程 <

br>F_i(X₁，X₂，…，X_m)=0 (i=1，2，…，n)

所给出，则X是光滑k概形，若且唯若雅可比矩阵(F_i/X_j)在X的每一个点x的秩等于X在x的余维数。

正则概形是光滑代数簇的推广。若概形(X，O_X)在每个点x∈X的局部环O_X，x都是正则局部环，则称为正则概形。若X是代数闭域上的代数簇，则正则性和非异性是等价的。

设S是一个概型，φ是概型X到S的态射，则称X是一个S-概型，如果S=SpecR，则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射，如果△_X/Y： X→X_xYX，x→(x，x)是闭的浸入，则称X在Y上可分，若Y=SpecR，则称X是可分的。态射f：X→Y称为有限型的，如果存在Y的仿射开覆盖{Y_λ|λ∈∧} 使得每个X_λ=f(Y_λ) 可以被有限个仿射开子集覆盖，而X_λj=SpecB_λj，Yλ=SpecA_λ每个B_λj是有限生成的A_λ代数。若X→SpecR是有限型的，则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域，V是一个整的，可分的在k上代数的k-概型，则我们称V是k上的一个代数簇。设(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是态射，如果→f=φ，则称f是S-态射。设X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密开子集，φ：U→Y是R-态射}，在E上引入等价关係 (U，φ)～ (V，φ) 若且唯若对于U∩V的某个稠密开子集W，|w=Φ|W。E/～的元素称为有理映射，若Y=Spec_R[X]，则称为有理函式，X上所有有理函式的集合记作Rat_R(X)。若V是域k上的代数簇，则Rat_R(V)称为V的函式域。设f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，则称f是控制的。设V，W是代数簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群，称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射，则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线，二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。

概形是代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间。更精确地，概形(X，O_X)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{X_i}_i∈I，使得(X_i，O_X|X_i)同构于仿射概形Spec Γ(X_i，O_X)(这样的覆盖称为仿射开覆盖)。概形间的态射就是局部环空间的态射.概形的範畴是局部环空间範畴的子範畴。若概形X有一个仿射开覆盖{X_i}，使得每个仿射概形都是诺特概形、既约概形、正规概形或正则概形，则相应地称概形X是局部诺特的、既约的、正规的或正则的。这些性质都是概形的局部性质，就是说，只要存在一个仿射开覆盖具有上述某种性质，这个概形就具有此性质，而且任意一个仿射开子概形都有此性质。若概形X的拓扑空间是连通空间或不可约空间(即它不能表成两个不同真闭子集的并)，则称此概形为连通的或不可约的。

在研究概形的性质或有关的概念时，往往要考虑具有相同基础的概形.带有态射f：X→S的概形X称为S概形.若S=Spec A是仿射概形，则S概形简称A概形.显然任何概形都是Z概形.给出基变换态射S′→S后，可以得到一个S′概形X_S′=X×_SS′，称为S概形X的基扩张.与S概形相关的概念称为相对概念，以区别于与概形相关的绝对概念.S概形与态射f：X→S密切相关.不同性质的态射就给出了不同的S概形.例如，设f：X→S是一个态射，若对角浸入X→X×_SX是闭态射，则称f是分离态射;若存在S的一个仿射开覆盖{U_i}={Spec B_i}，使得每个f(U_i)都有一个有限仿射开覆盖{V_ij}={Spec A_ij}，并且A_ij都是有限生成B_i代数，则称f是有限型的;若f(U_i)=Spec A_i，A_i都是有限生成B_i模，则称f是有限态射.有限态射是仿射态射.代数几何中研究的S概形一般都是分离、有限型的.

一个域的最大代数扩域.若域F的代数扩域Ω为代数闭域，则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的，并且在F同构意义下惟一.这个基本定理来自施泰尼茨(Steinitz，E.).设K是域F的扩域，在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包，它是F在K内的最大代数扩域.特别地，若F=A，则称F在K内是代数闭的.

代数闭包是实线性空间中的集合的代数意义下的闭包。设A为实线性空间X中的集合.A的代数闭包是指这样的点b∈X的全体：存在h∈X，对于任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代数闭包常记为acl(A).如果A=acl(A)，那幺A称为代数闭集.它也是X在以代数开集为开集的拓扑意义下的闭集，即代数闭集的余集必定是代数开集;反之亦然.代数闭包的概念在叙述凸集分离定理时也起重要作用.

有的文献定义代数闭包时，要求对于任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.这时代数闭集就不再是代数开集的余集.但当A是多于一点的凸集时，由这两种定义得到的代数闭包是相同的.