以平面问题为例：定常二维不可压缩流的边界层方程组，由一个连续性方程和两个动量方程组成，即

式中u、v为沿着x、y方向上的速度分量;p、ρ和v分别表示压力、密度和运动粘性係数。边界条件要求在不渗透的固体表面上，两个速度分量为零。在边界层外缘,u渐近地等于外缘速度u₀(x)，

所以有：

另外,还要给定压力梯度 。由于式(1c)中的压力p只是x的函式，它与外缘速度之间的关係为：

方程组(1)是非线性偏微分方程组，求解很困难,一般需用数值方法，这里主要介绍相似性解法和差分解法。

其要点是引进无量纲相似参数，将偏微分方程转换成常微分方程,然后再用数值方法求解。德国Н.布拉西乌斯在1907年首次用此法解压力为常数的平板绕流问题。在连续性方程中引进流函式Ψ，并定义一个相似参数η

f(η) 为无量纲的流函式。速度分量u、v及其导数 和 均可以从Ψ求出，而且都可以用函式f(η)及其高导阶数表示。最后，原方程组(1)变成一个三阶常微分方程：

f′″+ff″=0，　 (3)

对应于边界条件(2), 要求f(0)=f′(0)=0,f′(∞)=1。这是两点边值问题。一般的作法是先假设f″(0)=α, 从η=0的地方对方程(3)进行数值积分。当η→∞时，要求f′(η)→1。如果条件不能满足，必须更改α的初值，反覆叠代到满足f′(∞)=1的条件为止。但通过变数的转换，也可将这个两点边值问题换成初值问题，求解时不需要反覆叠代。令ζ=α^1/3η,α仍然代表f″(0);再令f(η)=α^ζ/3F(ζ),则f′(η)=α^2/3F′(ζ),f″(η)=αF″(ζ)，f′″(η)=α^ζ/3F′″(ζ)。代入方程式(3)，得到一个同样形式的方程：

F′″(ζ)+F(ζ)F″(ζ)=0，(4)　
但边界条件有些不同，变成F(0)=F′(0)=0，F″(0)=1三个初始条件，正好用数值积分直接求F(ζ)，而后利用f′(∞)=1=α^2/3F′(∞)求α，即

α=lim_ζ→∞[1/F′(ζ)]^{3/2 （5）}

方程(4)的具体解法， 是把它改为三个一阶常微分方程，令F的一阶导数为G，二阶导数为H，则有：

F′=G，G′=H，H′+FH=0， 　 (6)

F、G、H为三个未知变数，相应的初始条件为：F(0)=0，G(0)=0，H(0)=1。这组一阶常微分方程可用一般的数值积分法求解。

这种解法是将微分算符近似地用差商代替，把微分方程改为差分方程然后再求解。在有压力梯度的流动中，相似条件不能满足。用前面相同的坐标变换,

由于相似性假设不适用,流函式f是ξ、η的函式。通过坐标转换，方程(1b)变为：

式中f′、f″、f″′均为η的导数；fε为ξ的导数；β为压力梯度参数。差分－微分方程是将上式的ξ导数项改用差分形式，而在η方向仍保持微分形式。这样，方程(7)变成在η方向上的常微分方程，具有在η=0，η=∞的两点边界条件,可用叠代法求解。近来，人们直接将边界层方程的所有偏导数均用差分表示。这类差分法的格式很多（见有限差分方法），现以凯勒的差分格式为例。 此法首先将原方程〔如方程(7)〕改写成几个一阶偏微分方程组，而后将所有一阶导数均用中心差分，给出具有二阶精度的差分方法。现将f(ξ，η)对η的一阶导数用g(ξ，η)表示，二阶导数用h(ξ，η)表示。方程(7)可改为：

上两式均在i+1，j-1/2点上取值,它们的差分方程为：

方程(8b)则在点i+1，j-1/2上取值，如

在这些式子中，还有一些非线性项，如g²_i+1,(fh)i+1,须进行线性化，如果把g_i+1和g_i的差值看作小量,并忽略小量二阶以上的项，即得出线性化关係式：将以上各式代入(8b),即可得出在i+1截面上的线性

差分方程。连同(9a)和(9b)一起,并结合相应的边界条件,便可联立求解三个未知量f、g和h。从f即可求流函式Ψ,从而可计算出两个速度分量u和v。

1词条作者：卞阴贵《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：流体力学 中国大百科全书出版社 ，1987 ：27-28页