一维无限深势阱是粒子在一维运动中空间的一种特殊势场。
假设粒子所处势场不随时间改变，当粒子所处势场在空间中某一区域为0，在其余区域为无穷大时，粒子的运动会被束缚在该区域内，如同掉入一个深度无限大的井内无法爬上来。粒子在阱内的运动及分布情况需要套用量子力学的定态薛丁格方程求解。
基本介绍
- 中文名：一维无限深势阱
- 外文名：one-dimensional infinite square potential well
- 表达式：Ψ(x)=√(2/a)·sin(nπx/a) (0<x<a)
- 套用学科：量子力学
- 适用领域範围：粒子运动及分布
- 适用领域範围：量子力学基础
- 相关基础知识：定态薛定谔方程
定义
如果粒子受某种作用的限制，因而在空间某区域内发现该粒子的机率远大于其他区域，则此区域常可看做一个势阱（例：电子在金属固体中运动；质子、中子被束缚在原子核中。）。为简化问题的讨论，往往假定粒子在外力场中的势函式为
该理想化模型称作一维无限深势阱。
实际模型
在金属中的自由电子不会自发地逃出金属，它们在各晶格结点（正离子）形成的“周期场”中运动。进一步简化这个模型，可以粗略地认为粒子被“无限高”的势能壁束缚在金属之中，由此而抽象出粒子在无限深势阱中运动。为简单起见，设势阱是一维的，这是量子力学中最简单的例子。自由电子在一块金属中的运动相当于在势阱中的运动。在阱内，由于势能为零，粒子受到的总的力为零，其运动是自由的。在边界上x=0或x=a处，由于势能突然增加到无限大，粒子受到无限大指向阱内的力。因此，粒子的位置不可能到达0<x<a的範围以外。
波函式
设粒子有效质量为
，粒子运动的波函式为
。
在阱内（0<x<a），体系的定态薛丁格方程为
在阱外（x>a,x<0），体系的定态薛丁格方程为
②
由于阱外
，阱外波函式
。
由波函式的统计诠释可知，在x=0和x=a两点波函式连续，因此要求阱内波函式满足
φ(0)=0, φ(a)=0 ③
①式中，令
，方程的解具有以下形式
将③代入④，得B=0，Asinka=0。由于A=0时φ=0，波函式无意义，因此sinka=0，解出
ka=nπ，将该结果代入④以及
，可得出粒子能级以及波函式。
将波函式归一化，
，因此
，波函式